6. Қорытынды

Қарастырылған мысал математикалық физиканың қарапайым есебінің шешіміне жатады. (РС-20 ) плазманың динамикасы туындылардың бөлiндiлерiндегi анағұрлым күрделi жүйеден астам теңдеулерді суреттедi. Бұл есептер дегенмен параллель есептеулерiн ұйымның әдiстерiн талдап және күрделi есептеулер үшiн кластерлердiң қолдануын технологияны дұрыстауға мүмкiндiк бередi. Ішкі параллелизмнің бар болуына жүргізілген анализ алгоритмі мысалында.

Келтiрiлген есеп керiсiнше жаттығу мүддесiн ұсынды. Бiрiншiден, физиктер үшiн. модернизацияланған қоюды белсене пайдаланады. Екiншiден, математика - қолданушылар үшiн. Есептер мысалда iшкi қатар тұруды бар болуға алгоритмдердің талдау жүргiзген және қиғаштауды тиiмдiлiктiң бағаларының технологиясын алдын ала орындаусыз жан-жақты зерттеген.

Лекция 8.

Ыдыраудың әдiстерi.

Дәрiс - жергiлiктi - бiр өлшемдi схемалар бойынша ыдырау әдiстерiнде және физикалық құбылыстарға арналған ыдырау қағидаларына негiзделген математикалық - физикалық теңдеулерi үшiн үнемдi айырма схемалардың құрастыруының идеяларымен таныстырады.

8.1 Ыдырау әдістеріне түсінік

Тұрақты коэффициенттерi бар туындылардың бөлiндiлерiндегi теңдеуi үшiн дифференциалды есептi қарап шығамыз:

(8.1)

Оператор бұл жерде - тұрақты коэффициенттерi бар оң дифференциалды оператор. Оператор жазылуы бойынша туындылар кеңiстiктiң айнымалысына кiредi. Кез келген нөл емес элемент үшiн орындалған. — интегралдаудық облыстың шекарасы ; — айырма оператор аппроксимациялайтын . Айырма теңдеуді тексеруге болады.

(8.2)

екiншi ретпен (8.1 ) аппроксимация жасайды ( Кранка – Никольсон схемасы ).. [tn + 1/2, tn + 1] [tn, t + 1/2] интервалда жазып алынған аппроксимациялардың бiрiншi дәрежесiнiң анық және анықталмаған схемаларын кезектескен тыс қолдануды нәтиже ретінде түсiндiруге болатынын байқаймыз.

(8.3)

Аралық жiктегi (8.3 ) теңдеулердiң функцияның мәндерiнен алмағанда (жартылай бүтiн индекспен) әр уақытта (8.2 ) аламыз. Егер , онда

(8.4)

Сонымен айырма операторы оң болып табылады:

Келесi жiктегi шешiм операторлық түрде төмендегiше жазылады:

немесе

онда

Алған айырма теңдеудiң орнықтылығының дәлелдерi үшiн (uⁿ + u^{n + 1})/ 2ге (8.4 ) скалярлық көбейтемiз, төмендегі теңдеуді аламыз.

(8.5)

Дұрыстыққа байланысты айырма оператор өйткенi (8.5) – тен схеманың орнықтылығы қамтамасыз екенi шығады. Егер әр уақытта жоғарғы және төменгi қабаттар айырма операторлардың жартылай сомасының таңдалған түріндегі (кеңiстiктiң айырымдары) айырма операторы болады.

Схема бойынша аппроксимацияның екiншi ретiн алады.

8.2. Tau(τ) бойынша бiрiншi және екiншi ретті ыдырау әдiсi

8.2.1. Жергiлiктi - бiр өлшемдi схемалар

Айырма оператор әрбiрi сәйкесiнше бiр сарынды тек қана кеңiстiктiң айнымалы және айырымның тек қана бiр-бiрiндегі туындыларын бойлай қосатын операторлардың сомасы түрiнде көрсетуге болатын сәйкес дифференциалды операторды қоямыз. Барлық кеңiстiктiң бағыттары N. Мұндай дифференциалды және айырма операторларды жергiлiктi – бір өлшемді деп атаймыз. Дифференциалды және айырма операторлар сома түрiнде жергiлiктi - бiр өлшемдi ретпен жазылады :

Бiркелкi есеп үшiн бағыттар бойынша ыдыраудың схемасын көшiрiп алуға болады:

Әрбiрi бастапқы дифференциалды аппроксимация жасамайтын айырма теңдеулердiң жүйесi алынған, бiрақ оңай (егер айырма операторлар тек қана алғашқы және екiншi айырымдарда болса ,тиiстi бағыттың прогонкасының әдiсiмен) шешiле алады. Әйтсе де, олардан басқа дәлдікті түрде қолданылған теңдік бірінен соң бірі әр уақытта дәлдiгi бар келесі шешімді бередi. Суммалық аппроксимация қорытынды операторларын аппроксимациялайтын жиынтық орын алады. Жоғарыда айтылған әдіс бөлшектi адымдардың әдiсi деп аталады да, көп өлшемдi жылу өткiзгіш теңдеуінiң шешiмiнде кездеседі.

Бiртектi емес есебi үшін ыдырау схемасының бастапқы варианты сияқты болады.

Мысалы, оның барлық теңдеуiндегi оң бөлiктiң есепке алынуының тағы басқа әдiстерi, (келесi жiктегi аппроксимацияның қатесiнiң минимизациялауы) ең жақсы жиынтық аппроксимация шарттарынан жиналып алынатын көбейткiштерi болуы мүмкiн.

Бағыттар бойынша ыдыраудың жоғары келтiрiлген схемалары абсолюттi тұрақты.

2. Кранка – Никольсон схемасы.

Көп өлшемдi теңдеулердiң жағдайына Кранко-Никольсон схемасының жалпылауын жергiлiктi - бiр өлшемдi операторларымен қарап шығамыз.

Сонымен қатар бұрынғыдай . Егер әрбір оператордың коэффициенті уақытқа тәуелді болса, олар белгілі бір уақыт аралығында алынады . Қарапайым мазмұны үшін екі жағдайды қарастырамыз.

Ыдырау схемасын мына бағыт бойынша қарастырамыз:

Уақыт бойынша операторлық шешімі келесі түрде жазылады .

Ауыспалы оператор үшін мына формула алынады:

Орындалу кезінде мына шарт тұрақты, уақыт бойынша екінші ретпен аппроксимацияланады, егер оператор коммутативті және біріншісі жоқ болса.

8.2.3. Ыдырау әдісінің жалпы құрылымы.

Жергілікті - бір өлшемді дифференциалдық операторының әр қадамын уақыт бойынша ауыстырамыз. Ыдырау схемасын келесі жалпы түрде қарастырамыз:

Шарт тұрақтылығы ыдырау схемасында былай көрінеді:

онда

Екі сатылы ыдырау схемасы коэффициенттерімен келесі түрде беріледі:

Егер бұл ыдырау схемасында жоғарғы және төменгі қабаттарды уақыт бойынша теңестірсек , онда басқарушы операторы екінші ретпен уақыт бойынша аппроксимацияланады.Егер әрбір оператор болса, онда бұл схема тұрақты болады.

8.2.4. Жылулық теңдігіне байланысты ыдырау схемасы

Стационар емес жылулық теңдігін қарастырамыз

Бұл жерде Лаплас операторы анықталған. Оны суммалық үш жергілікті – бір өлшемді оператор ретінде жазуға болады. Сәйкесінше бұл оператор тең болады, онда екінші оператор соңғы және әр түрлі бағытты есептеуде толығымен анықталады. Жергілікті – бір өлшемді оператор жылулық теңдігі үшін мына теңдікке тең болады.

Аппроксимация ретін көтеру үшін өлшем бойынша схеманы қолдануға болады.

8.3. Компоненттік екі циклды ыдырау әдісі

Бұл әдіс үшін коммутативті операторының талабы қойылмайды. Уақыт бойынша бір қадам аралығында емес сандық шешімін қарастырамыз (8.1), [tⁿ, tⁿ⁺¹] бөлігінде, ал екі қадам үшін [t^n-1, tⁿ⁺¹]. Енді жергілікті – бір өлшемді оператор уақыттан тәуелді болсын, онда олар бөлігінің ортасында анықталады.Ыдырау схемасын жазамыз:

(8.6)

Ескертпе көрсетілген бұл әдіс операторлық түрде былай жазылады

Егер жергілікті – бір өлшемді оператор шартты болса, онда оның шешімі және матрица элементі (8.6) схемасында шартты түрде, (8.1) схемасында екінші ретпен аппроксимацияланады.

Бірінші ретті емес дифференциалдық теңсіздік үшін

Ыдырау әдісі әр түрлі аппроксимация түрінде берілуі мүмкін

онда fⁿ = f(t_n).

Операторлық түрдегі шешім

Бірінші ретті емес дифференциалдық теңсіздік үшін сәйкесінше әр түрлі аппроксимациянын қолданамыз:

Екі циклды ыдырау әдісі үшін математика – физика есептерінің қолданылу мысалдарын қарастырамыз.

Мысал 1.

Үш өлшемді стационар емес диффузия теңдігі, интегралдау облысы — параллелепипед. Вертикаль бағытта (ось 0z ),диффузиия коэффициенті вертикаль жазықтықта координатасы арқылы тәуелді, геофизика есебіне арналған, — горизонталь жазықтықтағы диффузия коэффициенті. Есеп мына түрде берілген

Қарастырылатын үш өлшемді есеп , бір өлшемді есепке сәйкестендіріледі.Бірінші есеп мына түрде

Олар вертикаль жазықтықтағы диффузияны сипаттайды. Екінші, үшінші есептің өзін жазамыз

Енді дифференциалдық теңдік үшін әр түрлі аппроксимацияны қарастырамыз.

Әр түрлі Компоненттік екі циклды ыдырау әдісі мынаны қарастырады

Мысал 2. Жүктелген стационар емес ауысым және и диффузия теңсіздігі

мұнда операторлар анықталған

Мұнда v₁, v₂, v₃ — компонентті векторлық жылдамдық , u —субстанция концентрациясы, — сыртқы ортадағы субстанция коэффициенті . Ыдырау схемасын мына түрде көз алдымызға елестетеміз.

Әр түрлі операторлар аппроксимацияланады, сәйкесінше жергілікті – бір өлшемді дифференциалдық операторларда. Қарастырылатын есеп үшін

Қарастырылып отырған есептің әр этабында физикалық процесстің ыдырауы жүргізілген. Екі өлшемді конвекция теңдігі - диффузия

компонент жылдамдығы ортаның жылдамдығы v₁, v₂ теңдігін қанағаттандырады.

Ыдырау есебінің бірінші этабы физикалық ауысым процесімен байланысты, онда теңсіздік аналогы шешіледі.

Ыдыраудың екінші этабы диффузия процессін сипаттайды.

Мысал 3. Газдық динамика теңсіздігінің ыдырауы

u₁ , u₂ — компоненттік вектор жылдамдығы , P — газ қысымы, — жазықтық, — ішкі энергия.

Бірінші (Эйлер) этап. Тек қана биіктік өлшенеді, бүтін ұяшыққа қатысты, ал сұйықтық ішкі ұяшықтың торы ретінде саналады. Есеп формула бойынша, теңсіздік аппроксимацияланады

Екінші (Лагранж) этапта шекара арқылы газ жылдамдығың массасы, эйлер ұяшығы, импульс, энергия өтеді, газ параметрін анықтайды.; определяются поля. Теңсіздік аппроксимацияланады