9.4. Өзіндік шешуге арналған тапсырмалар

1. Кортевег - Де Фриз теңдеуі

Математикалық физиканың ең керемет теңдеулерінің бірі — Кортевег - Де Фриз теңдеуі ( қысқаша КДФ) көп жағдайда мына түрде жазады

u_t - 6uu_x + u_xxx = 0

немесе

• Бұл формалардың жазылуын бір біріне ауыстыру кезіндегі өзгерісін табу

• Қайталану шартымен берілген облысында u_t - 6uu_x + u_xxx = 0 теңдеуі үшін есеп қарастырамыз.

Кейде 9.8 суретте көрсетілгендей теңдеуді шешу үшін үшқабатты айырымдық сұлба қолданылады (үшінші туынды симметриялық бейненің бес нүктесі бойынша жазылады, кейбір коэффициенттер нөлге айналуы мүмкін). Оны апроксимацияғы және тұрақтылыққа зерттеу. Қандай тұрақтылық шартын алдық? Жылу өткізгіштік теңдеуді шешу үшін Саульева шаблон сұлбасын қолданып, шаблонда айырымдық сұлбаны құру. (9.9 а, б сурет)

Сурет 9.8. 

Сурет 9.9. 

Алынған сұлбаларды апроксимацияға және тұрақтылыққы зерттеу үшін жоғарғы қабатта қуалау әдісін қолдануға бола ма?

• u_t - 6uu_x + u_xxx = 0 теңдеуінде шексіз сақталу заңдары бар. Солардың бірнешеуін көрсетейік:

Тор деңгейінде сақталу заңдары орындалу үшін кертартпалық айырымдық сұлбаны қалай құруға болады

• Жоғарыда келтірілген үшінші сақталу заңы үлкен рөл атқарады. Ол u_t - 6uu_x + u_xxx = 0 теңдеуінің Гамильтоны болып табылады , яғни

Мұнда

I₁ - функционалдың туындылы вариациясы, айырымдық сұлбаны алу тәсілі, гамильтониан жүйесін сақталушы.

Шешуі. I₁ гамильтониан кестелік аналогын жазамыз :

Бақылау сұрағы: Неге O(h²) дәлдігімен I₁ аппроксимациялайды?

Кестелік деңгейде алынған туындылы вариация барлық бойынша дифференциалданғанын және h бөлікке бөлінгенін білдіреді. Онда туындылы вариацияның кестелік жазылуын аламыз:

(4.4.3) дискретті аналогын h бойынша екінші ретпен апроксимациялап, мынаны аламыз

Уақыт айырмасы бойынша туындыны айырбастап

Және n қабатта оң жақ бөлігін есептеп, 2 пункттағы бір сұлбаны аламыз.

Әрине, гамильтонианның түрлендіргенде өзге айырымдық сұлбаларға әкелетін басқа да апроксимациялары болуы мүмкін. Кестелік деңгейде бұл сұлбалар үшін сақталу заңы орындалатын болады, олардың бәрі симметриялық шаблондарда жазылады. Все они будут записываться на симметричных шаблонах, на сеточном уровне для этих схем также будет выполняться закон сохранения .

Симметриялы емес шаблонда Саульлева типтес вариациялық сұлбаны ала аламыз ба?

Қосымша материалдар: Қосымша. Математикалық физикада Параллельные вычисления на кластерах из персональных компьютеров в математической физике (В.Е.Карпов, А.И.Лобанов): версия для печати и PDA

1.Кіріспе

Туындылардың бөлiндiлерiндегi теңдеумен түсiндiрiлетін заманауи күрделi мәселелерiнің бiрі плазманың қазiргi физикасы болып табылады. Төңiрегiнде басқарылатын термоядролық синтездiң зерттеулерi үшiн қуатты энергетикалық импульстердi шығаруға қабiлеттi қоюлар жасалады. Көкейкестi мұндай қоюларда плазманың динамикасының пiшiндеуiнiң сұрақтары болып қалыптасады.

Тәжiрибелермен сәйкестiк күрделi математикалық үлгiлердiң негiзiнде сандық пiшiндеудi бередi. Сонымен бiрге атқарылатын есептеулердiң көлемi кенет өседi. 10-12 жыл толық үлгiлердi артқа қолданылған есептеушi техниканың мүмкiндiктерi мүмкiндiк бермедi. Параллель есептеуiш жүйелерiнiң қолдануы қазiр керек болады. Параллел ьесептеулерiнiң өткiзулерi үшiн арнайы әдiстер өндейдi. Дегенмен кәдiмгi компьютерлер үшiн ресми түрде мақұлдалған әдiстер және бағдарламалардың кешендерiнiң қатары бар болады. Параллель ЭЕМге орындау үшiн олардың iшкi қатар тұруын талдау және бейiмделу қажеттi болып қалыптасады.

ЭЕМ өнiмдiлiгiнiң жоғарылату әдiстерінiң бiрі - элементтiк базасының дамытуы, қарапайым операциялардың процессорды орындау уақытының бастаушы кiшiрейтуiне. [P.3 ] (Moore ) эмпирикалық Шоқпыт заңына сәйкес, процессорлардың өнiмдiлiгi жылдың әрбiр бiр жарымдарын екi есе өседi, бiрақ пайдаланушыға ендi есептiң шешiмi қазiр керек болады. Мысалы, компьютерлiк жүйелердiң өңдеушiлерiнiң жарытымсыз сұрау салулары бiрнеше физикалық құрылымдардың операциялардың орындауы өнiмдiлiктiң жоғарылатуының басқа әдiстерi қосарлану есебiнен әр уақытта iздете алады

Бiр уақытта екі идеяны қолданудың және есептеу машиналарындағы құрылымдары көп 1950-шi жылдардың аяғынан ене бастады. Конструкциядағы бастапқы өзгерiстер есептердiң шешiмiнiң алгоритм негiздерiне тиiспедi. Олар бiрнеше бағдарламалардың бiрлескен жұмыстарын тапсырмалардың орындауының мүлтiксiз ұйымнан астам процесстерi талап ете жiбердi, бiрақ iс жүзiнде есептiң шешiмдерiн үдетуге мүмкiндiк бермедi.

Өнiмдiлiктер маңыздылығын жоғарылату мәлiметтердiң қағида параллель өңдеуiн ЭЕМ архитектураға енгiзуден кейiн қол жеткiзудiң сәтi түстi. Бiрнеше функционалдық құрылымдардың бiр процессорындағы процессордың әр түрлi командаларының орындауының кезеңдерiнiң конвейеризациясының белгiлi қабылдаулары, қолдану машина командалары есептiң шешiмi деңгейде үдетуге мүмкiндiк бередi. Мұндай қатар тұру процессорларды жұмыс iстегенде қолданылады командалық қорытып айтқанда керемет үлкен - VLIW - (Very Large Instruction Word ) процессорлар. Бұл қатар тұру қазiргi кезеңде қолданбалы бағдарламашыдан бой тасалатынған. Ол ар жағында жауапкершiлiк тиiмдi қолдану процессорлар немесе компиляторлардың өңдеушiлерiне тапсырылады.

Өнiмдiлiктер ең үлкен үлкею параллел есептеулерiн пайда болуымен сәтi түстi. "параллель есептеулерi" термин бiрнеше процессорлардың арқасында бiр уақыттағы қолдануының есептерiнiң шешiмiнiң үдеуiне жатады. Параллель есептеулер XX ғасырдың 80-шi жылдар соңы 90-шi жылдарының басында әйгiлi болды.

Параллел техникасының қолдануына бiртiндеп машиналарға программалау меңгерген мамандар дайын емес болды. Параллель ЭЕМ ны iске асыру үшiн алгоритмдерді жасау талап етілді. Ғылыми ой екi бағытта бiр уақытта алға басты. Бiрiншi [P.4 ] бiртiндеп компьютерлер үшiн қазiргi алгоритмдар ендi параллельдiкке зерттеу болды. Екiншi - [P.6 ] [P.5 ] параллель кешендерi үшiн әдейi қолайлы жаңа алгоритмдердыі өңдеу.Алгоритмды параллель iске асыруы үшiн керектi шарт - iшкi қатар тұрудың бар болуы, яғни ендi ярустармен қабатты - параллель формасының болуы. [P.7 ] шексiз қатар тұрудың тұжырымдамаларында есептеуiш жүйе алгоритмге ешқандай да шектеулерi үстiне қоймайтын туралы жорамал жатады.

Бұл шарттар сонда жеткiлiктi болады. Iске асырудың тәжiрибесi жеткiлiктiлiк туралы жорамалдың қателiгiн көрсеттi. Алгоритмдер бiр архитектурасы бар машиналарда биiк тиiмдiлiктi көрсете алды, осы уақытта бұл алгоритмдер басқа архитектурасы бар машиналарда ақырынырақ жұмыс iстедi. Бiрақ кез келген параллель бағдарламасы үшiн ішкi қатар тұруды бар болуға алгоритмдерін талдау қажеттi, шексiз қатар тұруды тұжырымдама болуы мүмкiн үдеу бағаны барынша алуға мүмкiндiк бередi.

Мұндай талдаудың күрделi мәселелерi үшiн - тiптi сыйымды процесс. Әр түрлi аспапты бағдарламаларды оның өткiзуiнде қолданылады. Көбiнесе компиляторлар, бұл iшкi қатар тұруды бар болуларды автоматты айқындайдығана емес, машина кодын жарамды параллель орындауларына әзiрлейдi.

Бар болудың таралған жады бар есептеуiш кешендерi үшiн түбегейлi iшкi қатар тұруды бағдарламада олар жұмыс iстейтiнiн әлi бiлдiруге жеткiлiксiз болады. Өз рөлi процессорлардың арасындағы орындаудың замандарының параллель жиiрек бағдарламасы және ақпар алмасуларды байланыс бұл жерде ойнайды. Егер қасында өз есептеуiш жүйесiнде бiртiндеп бағдарламаның уақытша профильсi түсу мүмкiндiгi қолданушы барып тұрса, онда бұл байланыстар ескере алады.

Параллел технологияларының қолданулары мысал ретiнде эксперименталдi қоюды жаңғыртудың есебiн қарап шығамыз.

2. Электр өрiсiнiң есептеу кластерлерін қолданып дербес компьюлерден РС-20 орнату.

РС-20 орнату Курчатовтың институтында жасалып және радиациялық - биологиялық зерттеулердiң өткiзуi үшiн бастапқы арнайтын болды. Тоқтың қуатты импульстерiнiң жасауы бойынша тәжiрибелердiң өткiзуiн қажеттiлiк кернеулердi үлкею және тоқтың плазмалы үзгiшi арқылы өткiзiлетiн зарядтың тығыздығы үшiн жаңғырту талап еттi.

Қоюды конструкцияның нобайы бастапқы сыртқы мұқабалары (1-шi сурет) металлдық бетпен тұйықтаған әр түрлi диаметрдiң екi коаксиалды конденсаторларының Спайгi сияқты көрiндi. Үлкен конденсаторға өзiмен ұсынатын қуысты молтақ конус диэлектриялық орнату орналастырған. Полиэтилен орнатуына компенсаторлық сақиналардың булары орнатқан. Әрбiрi диэлектрик арқылы өтетiн өзара жазық металлдық сақиналармен пара тұйықталған. Барлық қоюлар iшiнде вакуумды сүйейдi. Конденсаторлардың сыртқы мұқабалары жерге қосқан. Iшкi цилиндрлiк электродқа тұрақты кернеудi әпередi. Компенсаторлық сақиналарға жоғарғыға төменгi сақина өсiп келе жатқан тұрақты кернеулер апарған. Потенциалдар және электр өрiсiсiнiң кернеулiгi қоюдың iшi анықтауға керек болады, сонымен бiрге компенсаторлық сақиналардың ұтымды форманы және орналастырылуы.

1-шi сурет. RS-20 нiң қоюының бастапқы нобайы.

3. Математикалық үлгi және сандық әдiстiң таңдауы

Ввиду осевой симметрии целесообразно перейти в цилиндрическую систему координат ( ). Распределение потенциала электрического поля описывается уравнением Лапласа:

(6)

Металлдық беттердiң потенциалдарының мәндерi конструкцияның нобайымен берiлген. Конденсаторлардың жоғарғы және төменгi кесiгiнде конденсаторлар шексiз қашықтыққа екi жақтарда созылатынын санауға, мүмкiн көрiнбейді өйткенi түзу шектi шарт қойылады. Осы жағдайда кiруге және қоюлар шығу түрдiң шектiк шарттарын аламыз.

(7)

Рассматриваемая область не является односвязной (имеются внутренние границы на компенсаторных кольцах). Кроме того, известно, что в плоском случае в окрестности угловых точек решение ведет себя как , где — величина угла. Для входящих углов, у которых (в данном случае это точка стыка коаксиальных конденсаторов), производные от решения стремятся к бесконечности как

.

Бұрыштық нүктенiң бар болуы электр өрiсiсiнiң биiк кернеулiктерi және потенциалды есептеуi үшiн толық торлар бар болуын талап етедi. Ортаның диэлектриялық өтiмдiлiгiнiң коэффициентi вакуум- диэлектриктi орталардың бөлiмiнiң шекарасында үзiлу шыдайды.

Iшкi параллелдiктiң биiк дәреже сипаттайтын анық әдiстердiң бiрдi қойылған есептiң шешiмi үшiн орынды қолдану. Айырма аппроксимация, бұл жүйеде сызықты теңдеулердiң пятиточечнаясын қолданылды Якоби итерациялық әдiспен ұйғарылды:

(8)

Итерацияның номерін жоғарғы индекс көрсетедi. + индекстер және - қаралатын нүктеден оңнан солға және үстiнде тордың адымдарының шамаларына жатады және сәйкесінше сол жағынан және астыдан. Орталардың бөлiмiнiң шекаралары жартылай бүтiн нүктелерде диэлектриялық өтiмдiлiктiң коэффициентiнiң үзiлуiнiң есепке алуы үшiн мән ретiнде осы маңай орташа өлшемдi мәндердi сайланды. Итерациялардан шығатын есiктi келесi белгiнi қолданылды:

(9)