9.2. Газдық динамиканың есептері үшін вариациялық сұлбалар.

Көпөлшемді есептер үшін қызығырақ айырымдық сұлбалар алынады. Әсіресе вариациялық көзқарас нәтижелі болып келеді.

Келесі мысалды қарастырайық. Шексіз газ толтырылған вакуумде облысы жатыр.(9.3 суретте). Газдың массасы — тығыздық ортасы.

Қозғалыс жүйесі келесі теңдеуге бағынады:

Бұл теңдеулер лагранждың айнымалыларында көрсетілген. Толық туынды былай алынғанын қайталап кетейік:

Мұнда барлық белгілеулер дәстүрлі, через арқылы қозғалыс ортасының жылдамдығы белгіленеді, ал V арқылы — элемент көлемі. Ортаның қозғалысы үшін лагранжиан теңдеуін жазамыз, оны жүйе бөлігі деп елестетіп, кейін бөлік санын шексіздікке ұмтылдырамыз.

Ортаның қозғалысы функционал қозғалысының минимумы болу керек.

Массаның сақталу заңы бойынша . S вариациясын табамыз:

Термодинамиканың бірінші бастамасына сай адиабатикалық процесстің жорамалдығы:

Кинематикалық қатынастарды қолдана отырып

Екенін аламыз

Онда

траекториясының тәуелсіз вариациясы 0 ге тең болады егер, және . Сондай – ақ , Эйлердің газдық динамакасының теңдеулер жүйесінің шешімінің лагранжиан вариациясы 0 ге тең.

Сурет 9.4. 

Функционал қозғалыстың дискретті аналогын қарастырайық. Ол үшін торын төменгі бұрышта нөмірленген ұяшықтарымен бірге енгізейік. квадрат торында шығуы біркелкі квадрат торды көрсетеді (9.4 сурет). Онда

— ұяшық массасы ( — оның тығыздығы) < u² + v² > — ұяшықтың кинетикалық эанергиясы.

Адиабаталық ағынның шарттары

.

Кинематикалық қатынас бар (тор торабы үшін қозғалыс теңдеуі)

Әрбір ұяшықтың көлемі жорамалдап есептелінеді, яғни ұяшық шекарасы түзулердің бөліктері болып:

Енді дифференциалды жан жақты қатынастың сәйкес жүйесін алу қажет, Эйлер теңдеуі апроксимацияланған.

Функционалдың әрекетін жазып,

Оның вариациясын табайық:

Соңғы теңдеудегі бірінші қосылғышты былайша өзгертіп жазуға болады:

мұнда

Өзгертіп жазғаннан кейін келесі қатынасты аламыз:

Яғни дифференциалды жан жақты теңдеудің жүйесі пайда болады.

Энергияның анықтамасындағы теңдеу секілді адиабаталық теңдеу түзетіледі:

Дифференциалды жан жақты қатынас жүйесі күй теңдеуімен тұйықталады.

Енді, уақыт бойынша туындыларды шектік айырымдарға алмастырамыз, жылжымалы торда газдық динамика теңдеуінің шешімі үшін айырымдық сұлбаларды аламыз. Әдетте мұндай теңдеулерді шешу үшін анық айрымдық сұлбалар қолданылады. Толығырақ [19.2].

9.3. Қисық сызықты торда жылу өткізгіштік теңдеу үшін вариациялық сұлба.

Сурет 9.5. 

Жылу өткізгіштің сызықтық теңдеуін қарастырайық:

(9.1)

Мынадай шарттарымен

шектелген облыста қисық сызықты шекарамен. теңдеуі еш қай жерде шықпаса да яғни, k(x, y) > 0 облыстың барлық нүктелерінде, сондай ақ шектік нүктесінде.

облысында төртбұрышты ұяшықтармен тор берілген. Тор байланған деп саналады, яғни кез келген екі ұяшықтың басына сынық бар, оларды жалғайды. (9.5 сурет).

Тор былай құрылған болсын, айналдыру бар, ішінде тең өлшемді торы бар облыс параллелограмға көшу. Онда координаталық сызықтар x, y қисық координаталы қисық сызықты базиске көшеді .

(9.1) теңдеуді қайтадан жүйе ретінде жазамыз:

(9.2)

Функционалды қарастырып,

(9.3)

Мынаны табамыз :

Осыдан

Функционалдың минимумы жылу өткізгіштік теңдеуінің шешімінде жетеді.

Айырымдық сұлбаны құру үшін функционалдың дискретті аналогын енгіземіз .

Функционалды құрмас бұрын, айырымдық тордың ұяшығын қарастырайық (9.6 сурет). Те u_ij температурасын және k_ij жылу өткізгіш коэффициентін (немесе температура өткізгіш) ұяшық ортасына апарамыз ( диагональдардың қиылысу нүктесі). Келесіде ұяшықта үнемі термодинамикалық өлшем бар деп есептейміз.( 9.6 сурет ), ал қабырғаның центріне координаталық осьтің проекциясының ағыны сәйкес келеді. I координатасының ұлғаю мөлшеріне қатысты деп санаймыз; j ұлғаю мөлшеріне қатысты; Ағындық векторлардың прекциясы сәйкес координапталық сызықтарға бойлай бағытталған. Екі ұяшықтың ағындарының проекциясы сыртқы нормалдардың векторларымен бағыттас, ал екеу үшін қарама қарсы бағытталған.

Сурет 9.6. 

Теңдеуді интегралдайық

Айырымдық тордың элементарлық ұяшықтары арқылы. Мынаны аламыз:

(9.4)

Мұндағы — сәйкес қабырғаларының ұзындығы , S_ij — элементар ұяшықтың ауданы.

Тіктөртбұрыш дөңестігінің барлық координаталары белгілі болғандықтан, бұрыштарды, аудандарды, ұзындықтарды іздеу – геометрияның элементар есептері болып табылады.

Теңдеу (9.4) — дискретті аналог теңдеуі (9.2). Егер уақыт моментіндегі барлық ағындарды анықтауға болса tⁿ, t^{n + 1}, және кейін қандай да бір уақытпен (9.2) апроксимациясын қолданса, онда температура есебі үшін айырымдық сұлба құрылады.

Мына теңдікті ескерейік

Дискретный аналогты құрайық (9.3):

(9.5)

Жасырын нұсқалы прекция арқылы функционалдың дискретті аналогының бірінші бөлгіші кіретін скаляр квадраттары өрнектеледі. (9.7 сурет)

және т.б.

Сурет 9.7. 

" + " және " - " белгілері ереже бойынша мыналарды анықтайды: " + " – ағын компоненті , егер ағын проекциясы сыртқы нормалмен бағыттас болса, ал " - " белгісі егер қарама қарсы бағыт болса. Осылайша соңғы бөлгіштен (бірдей белгілердің проекциясы) және ұяшық бұрыштары үшін " + " белгісін аламыз, ал және бұрыштары үшін " - " белгісі ( әр түрлі белгілердің туындысында жылу ағындарының проекциясы ).

Анық сұлбаны алу үшін (9.5) – тегі жоғарғы қабаттың салмағын уақыт бойынша қойып , (9.5) –ті барлық бойынша дифференциалдайық. Ағындарды анықтау сұлбасын алу үшін, туындыларды нөлге теңестіріп, (9.4) тен барлық ді іздейміз. (9.4) те анық емес сұлбаларды құру үшін деп есептеп, (9.5) тің орнына келесі дискретизацины жазамыз:

(9.5) те әлі белгісіз мәндерді өрнектеп , тәуелді өрнек аламыз, және - жасырын проекцияның квадратының қосындысы.

Дифференциалдап, ағындарды анықтау үшін сызықты теңдеулер жүйесін. Жүйенің матрицасы келесі қатынастарға ие екенін көрсетуге болады:

1. 

2. таспалық құрылымды;

3. бөліктенген.

Жүйені шешудің нәтижелі итерациялық әдісін қолдануға болады.

Анық емес сұлба сөзсіз тұрақты болатыны дәлелденген , ал анық сұлба – шартты тұрақты.

Егер теңдеу айырылмаса, k = k(x, y, u) болғанда әдіс оңай жинақталады. Бұл әдіс өзге шектік шарттар кезінде де жинақталуы мүмкін (ағындардың болмауы міндетті емес). Бұл жағдайда (9.3) функционалына сәйкес шек бойынша интегралдар қосылады, ал (9.5) ке бет бойынша қосынды.

Толығырақ (19.2) де оқуға болады.