7.8. Дербес шешiм үшiн есептер

1. [0, 4] кесiндiдегi Ритц есептер шешiмінде әдiстi қолданып глобалдi негiздер қолданылады

1.

2.

3.

Бұл негiздердiң әрқайсыларының қадырларын және кемшiлiктерiн сипаттау.

9. Дәріс: айырымдық сұлбаларға вариациялық принциптерді қолдану.

Бұл дәрісте Лагранж бен Гамильтонның айырымдық сұлбалары үшін вариациялық принциптерінің қолданылуы туралы жазылған. Қосымшада сандық әдісті параллельдеудің негізгі сұлбасы нақты есептердің мысалында қарастырылған.

Ритцтің вариациялық принципі эллипстік тип үшін МКЭ-ні есептеуге мүмкіндік береді. Келесіде стационар емес есептерді көбіне МКЭ-нің проекциялық нұсқасы қолданылған.(Галеркин әдісі). Бірақ математикалық физиканың көбі вариацялық құрылымды болып келеді. Кейбір ауыртпалықтар мен сақталу заңдылықтары есептерді шешуде ерекше рөл атқарады.(мысалы- Гамильтонның сақталу заңы). Вариациялық құрылымдар мен есептің барысын ескеру үшін айырымдық сұлбалар (немесе сандық әдістер) қажет.

Оның екі әдісі бар. Біріншісі – дискретті аналогтардың сәйкес функционалдары үшін вариациялық принциптерді қолдану. Әдетте нәтижесінде консервативті сұлбалар шығады. Екінші әдіс – қарапайым әдістермен айырымдық сұлбаларды құрастыру. (шектік айырымдар), және олардың минимизациялауға бағытталған сақталу заңдарының аппроксимациясының қателiктерi бағытталған модификациясы.

Бірінші әдісті қарастырайық (вариациялық).

9.1. Неғұрлым аз жолды қолданудың мысалы (Гамильтон)

Ұзындығы 1 ге тең қатты созылмайтын стержнь туралы есеп қарастырылады. Ол 0 нүктесінде бекітілген болсын, ал келесі стержньннің соңында күші бар.(9.1 сурет). Стержньнің қозғалысын табу керек. Стержньнің бастапқы формасы берілген.

Сурет 9.1. 

Болуы мүмкін шешім: қозғалыстың теңдеуін жазу арқылы гиперболалық теңдеудің шешімін аламыз; шектік шарттарды қою; айырымдық сұлбаларды құру. Бірақ есепте стержньннің үлкен тербелістері байқалады.

Жақындатылған шешімнің басқа әдісі. x осінен ауытқу бұрышын енгіземіз, s - доғаның ұзындығы, t - уақыт. Онда мынаны аламыз

Стержньнің кинетикалық энергиясы бар

Ал потенциалдық энергия серпімді энергиядан және сыртқы күштердің жұмысынан сақталады:

(сәйкес коэффициенттер 1 ге тең ).

Лагранжиан жүйесі бар L = T - U, сондықтан

Гамильтонның принципіне сай, функционал экстремалды мәніне ақиқат қозғалысында жетеді. Осыдан:

үшін қозғалыс теңдеуі

үшін интегро – дифференциалдық теңдеуін аламыз, оның жан – жақты апроксимациясын құруы белгісіз.

Есеп үшін Грин функциясы бар екенін ескеру керек

w'' = - g(s), w'(0) = w(1) = 0.

Сурет 9.2. 

Енді лагранжиан L_h үшін дискретті аналогын енгіземіз. Ол үшін стержньді бірдей ұзындықты n бөлікке бөлеміз (және бірдей салмақты). Әрбір бөлік көлбеу бұрышын сипаттайды. Онда (9.2 сурет )

Мұнда шектік элементтердің аналогы немесе орталық жан жақтылығымен сұлбалар пайда болды. Бұл жерде интеграл шектік сынықтармен алмастырылған, бұл интегралдар трапеция әдісімен шешілген яғни лагранжиан анықтамасындағы қателік L_h бар .

Енді теңдеулер жүйесінің құрылуын жазу керек:

Яғни, берілген кестеде барлық мәндері үшін функционалдардың дискретті аналогын дифференциалдау керек. Қарастырылып отырған есеп үшін соңғы теңдеу мына қатынасқа келеді.

Лагранжианның дискретті аналогының соңғы құрылымынан және арқылы дифференциалданғаннан кейін мынаны аламыз:

( екені белгілі).

Осылайша, Гамильтонның вариациялық принципінің кестелік аналогын қолдана отырып, жан жақты дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз. (уақыт бойынша дифференциалды және айнымалылар бойынша жан жақты).

Сурет 9.3. 

Бұл жүйені қарапайым дифференциалдық теңдеу секілді шешу қиын, өйткені ол Коши дің дұрыс формасына келтірілмеген. Бірақ соңғы дифференциалды - алгебралық жүйемен жұмыс істеп шешуге болады. Шшешімнің алгоритмі g_lk —Грин функциясының кестелік аналогында жатыр. Кері матрица — оператордың екінші туындысының кестелік аппроксимациясы. Толығырақ [19.1].