7.6. Тұрақты теңдеулер үшiн шэә

Ең оңай ШЭӘнi қарап шығамыз - жылу өткiзудi теңдеудiң аппроксимациясын:

Тиісті шегіемен және бастапқы шартымен.Мына түрде шешім іздейміз:

Галеркин жолын пайдаланып ("Қақпақтар" негiзінде) аламыз

Бұл - дифференциалды-айырма теңдеулердiң жүйесi. Ендi туындыларды, әр уақытта, айырма қатынастармен алмастыру керек.

(оң бөлiкте жiктеудiң коэффициенттері тұрғанда алдыңғы жiктік әр уақытта тұрады) "анық" схема ендi анық болып табылмағанын байқаймыз, анық әдiстердiң анықтауы, сәйкес жоғары мәлiмет:

n + 1-шi жiкте бәрiбiр прогонканың әдiсiнiң теңдеулерiнiң жүйесiн шешуге керек. Бұл есептеуiдің қолайсыз болу себебi жiктеудiң коэффициенттерiнiң тәуелдiлiгін анықтау, дифференциалды теңдеулердiң жүйе болуынан болып табылады, бұл кәдiмгi дифференциалды теңдеулердiң жүйесi, бiрақ нормалы Коши формасында жазылмаған.

Нейманның фонын спектрлiк белгiге орнықтылыққа схеманы зерттеуге талаптанамыз. жоғарыда келтiрiлген айырма теңдеуге қойып:

• қабатты өткелдiң операторының спектрi үшiн өрнек аламыз

Мұндағы

Бұдан ,шектi элементтер әдiсiнiң орнықтылығы тағы өлшемсiз комбинациясымен бөлiктеу параметрлерiмен анықталатынын (түпкi элементтiң өлшемi, уақыт қадамы) және жылу өткiзу коэффициенттiң Курант санының параболалық аналогiмен көруге болады. үшiн теңдеудi өзгертемiз

"Анықталмаған схемамен" (оң бөлiк жоғарғы қабаттан уақытпен алынады) немесе Кранко-Никольсонның аппроксимация түрiн пайдалануға мағынасы болады

Тұрақты теңдеулерге ШЭӘнiң қолдануын қарастыруды жалғастырамыз. Сонымен қатар бұрын, жылу өткiзу есебін үшін теңдеу қарастырамыз

Түрдегi шешiмдi "Қақпақтар" базисін таңдап ұсынамыз

Дифференциалды теңдеулердiң жүйесiн, соңғы теңдеуді бастапқыға қойып және Галеркин әдiсiнiң үйреншiктi процедурасын қолдана отырып аламыз.

(тордың адымы тұрақты болып есептеледi), немесе, матрицалық түрде

(7.15 )

Сонымен бiрге, кез келген негiзде

Сонда

Матрица - өздiгiнен түйiндендiрілген оң нақтылы. (7.15 ) түрдегi соңғы теңдеу жазып алуға болады

вектор енгiземiз және соңғы байланыс сол жағында -ге көбейтемiз, сонда аламыз

(7.16 )

(7.15 ) анықталмаған жүйеден (7.16 ) "анық" жүйе алынған - туындылардың векторының алдында матрицалық көбейткiш жоқ.

(7.16 ) үшiн Кранко-Николсон схемсына жазып аламыз:

(7.17 )

(7.17 ) схеманың орнықтылығы туралы сұрақты төмендегiше шешуге болады. (7.17 ) көбейтемiз. Байланыс аламыз:

Сонын арқасында ( операторының спектірі белгілі). Соңғы теңсiздiк әдістің орнықтылығын сөзсiз бiлдiредi.

7.7. Сызықты емес теңдеулердiң шэә арқылы шешiмi.

Хопфа теңдеудi ең оңай мысал ретiнде қарап шығамыз

(7.18 )

Сонымен бiрге, оның шешiмiн, (7.14 ) түрде iздеймiз, бұрынғыша "Қақпақтар" базисін пайдаланамыз. Есептеулерден кейiн аламыз

Егер (7.19 ) дискретизацияны анықталмаған түрмен жазса (n + 1-шi жiкте мәнi бойынша әр уақытта немесе Кранко-Николсонның схемасы бар ұқсастығы бойынша), онда жүйе сызықты емес жүйе пайда болады. Оны Ньютоның әдiсi бойынша шешу керек. (7.19 ) шартарапта санай түзетуге болады

Жазу шамалардың n + 1-шi жiгiнде (7.19 ) келесi сызықты салыстырмалы шама өзгертедi:

Бұл жүйенi бiр қалыпты емес прогонка әдiстi пайдаланып - прогонканың әдiсi және бастауш элементтiң таңдауы бар Гауссытың алгоритмын будан шешуге болады.

Тағы басқа жол болуы мүмкiн - есептiң жақын жүрген шешiмiнiң анықтауы үшiн (7.18 ) бастапқы теңдеудiң сызықты және сызықты емес теңдеулердiң жасалған тiзбегiнiң шешiмi.

Бұл дәрiстiң шеңберлерiне техникалық толықтықтырудан басқа, эллиптиялық есептердiң шешiмi үшiн ең кiшi квадраттардың әдiсi, сонымен бiрге шектi элементтердiң әдiстерi сандық байланыссыздықтың шаршысының функционалының минимизациялауын қолдану негiзделген әдiстерде қалды.