7.4. Түпкi элементтердiң схеманың құрастыруына мысал

Есептердiң санының кiшiрейтулерi үшiн санаймыз

(7.1 ) есептiң аналогi несамосопряженныйды қарап шығамыз:

Кездесетiн теңдеудi табамыз:

Бұл байланыстан шарт алу оңай, егер . Негiз бойынша жiктеудi ендi жазып аламыз:

бастапқы дифференциалды теңдеуге қоямыз:

Сол бөлiктегi бөлек әрбiр қосындысын қарап шығамыз:

Алғашқы екi қосылыстың оң бөлiктерде базистiк функциялардың сақтаушылары финит болғандықтан пайда болады. Оң бөлiктегi соңғы қосындысы интегралдаумен пайда болады. Не үшiн бөліктеп интегралдау керек? бірінші көреміз. Демек, бұл базистiк функцияның туындылары – ортақталған функция,сондықтан, скалярлық көбейтулерде функциялар пайда болады - функция,қиындықтар интегралдауда пайда болады.

қрытындысында ,барлық есептеулерден кейыін C_к тың алдында коэффициент

тиiстi кесiндiлерде k(x ) функция үзiктi-тұрақты болып есептеледi , басқа аппроксимацияны қолдануға болады, k(x ) – артқы функция екенін есерсек. Алғашқы екi қосынды (7.11 ) шарттардан тәуелдi және C_к ның анықталуы үшiн теңдеулердiң оң жүйесінiң бiр бөлiктерi жатады.

С _к-да коэфициент

Мында да тагы q(x) функциясы үзiктi-тұрақты

p(x ) мен соңғы қосынды өрнектi бередi

Демек, есептелетiн интегралдардың әдiсi "кiлегейленмен" жанында әрине-айырма байланыс, ұқсас Нумеровтың аппроксимациясына iс жүзiнде аламыз.

Сонымен бiрге, түбегейлi айырмашылық бар болады. Торлы функция - бұл кестелiк тап қалған функция. ШЭӘ (жақындатылған) шешiм - бұл, торлы емес функция емес, элемент.

7.5. Базистiк функциялардың құрастыруы

ШЭӘ математикалық негiз - Галеркиннiң әдiсi және Ритцтың вариациялық әдiсi - екiншi XX ғасырдың он жылдығынан бастап дамиды. Соңғы жылдардың ШЭӘсiне өрлеу деп аталатын үйлесiмдi негiздердiң жеткiлiктi тегiстiк ие болатын базистiк функцияларының жиындарының құрастыруында тап болады.

"қақпақтар"дан екi өлшемдi жағдайданған базис. Базистiк функциялардың құрастыруын процесс тұрды:

• облыстар триангуляцияны - әрбiрi өз базистiк функциясының сақтаушысы болып табылған үшбұрыштарға бөлiктеу ;

• базистiк функциялардың құрастыруы.

(7.3-шi сурет белгi) триангуляцияға талаптары.

(7.3)

1. Sқа S және S^h нiң нүктелерiнiң арасындағы нормалар арқылы тиiстi нүктелердiң арасындағы сәйкестiк, қашықтықтың өзара-бiрмәнділік бекiтiледi (h - торлы параметр) асып түспейдi.

2. үшбұрыштардың тараптарының ұзындығы және олардың ауданы [hl₁, hl₂] шектердегi және жатады, оң тұрақтылар, h қа байланысты емес.

3. Облысқа D^h ның өрнектеуi үздiксiз өзара-бiрмәндiлер бар болады,шекаралары координат өстеріне параллель,немесе бұрышын жасайды. Әрбiр үшбұрыш Iшiнде сызықты және соңғы катеттерi бар тең бүйiрлi тiк төртбұрышты үшбұрышқа, тең hпен ауыстырады.

Триангуляцияның құрастыруын мысалдың қарапайым құрастырулары.

1. D облыс тiк төртбұрышқа тiзiмге кiргiземiз.

2. H-тың адымы бар бiр қалыпты торды тiк төртбұрышты саламыз

(7.4)

3. D тордың түйiндерi шекараға ең жақын Dның шекарасына қозғалтамыз

(7.5)

4. Диагональлермен төрт бұрыштар ішіне D^h тармен бөлеміз

(7.6)

5. Dh қиылысуы бос барлық ұяшықтарды алып тастаймыз

(7.7)

(7.8)

Базистiк функцияның құрастыруы - "Қақпақ". Қандай болмасын үшбұрыштың төбесiн P₁ бекiтемiз. Көршiлердiң тiзiмiн құраймыз , төбелері P₁ шыңды үшбұрышқа тәуелдi. Мейлi, 1 үшбұрышқа (7.8-шi сурет) тәуелдi ,төбелерi тiзiмде Q₁ және Q₂ бар болсын. Бұл үшбұрышта ұсынамыз

Онда нүктелер үшін

Өкiнiшке орай, "қақпақтар" түрдiң базистiк функциялары (кеңiстiктiң туындысы бойынша) екiншi реттiң теңдеулерiнiң шешiмi үшiн жетпеуi мүмкiн. Екiншi реттiң теңдеулерiн осыған дейiн қаралды. Пiшiндi теңдеуге ендi өтемiз

(7.12)

Кез келген шекті шарт

ШЭӘ-ға байланысыты шешімді іздестіреміз

(7.13)

Мұндағы финит тасымалдаушысына ие.(7.13)-ті (7.12)-ге қоямыз. -ға апарылған ,шектi шарттары бар мүшелерге алаңдамай, көбейткенде аламыз

Бұдан ,(7.14 ) бiрiншi соманы есептелу үшін, базистер тегіс болуы керек:

ШЭӘ жинақтылығын нормасында түсіну қажет.

Үйлесiмдi базистiк функциялардың мысалдары. Егер "Қақпақтар" негiзiн қолданылса, онда ШЭӘ шешiм (түпкi элементтердiң ұштастыруының жанында) әрбiр түйiнде бiрiншi туындының үзiлуiн алады. Бұл ШЭӘнiң негiздiң таңдауы артынан болады. Өз iзделiп отырған функция үздiксiз.

Мүмкiн деймiз үздiксiз бiрiншi туынды ие болатын шешiм табу керекмыз.

Базистың функцияларының жиынын саламыз:

түпкi элементiнiң өлшемі1-ге тең деп санаймыз. осы элементті 1-шi ұзындықтың кесiндiсiне аударатын, бiр өлшемдi тор үшiн сызықты өрнектеу тыбылады (әрбiр элемент үшiн өзінікі ). Базистiк функция бар деп есептейміз

әрбiр кесiндiде [- 1;0] ,[0;1] - p-ның дәрежесiнiң полиномы. нүктесінде және оның барлық mның ретiне дйінгі туындылары нөлге тең. Нүктеге x = 0.

қоямыз.

(түпкi элементтерге кесiндiнiң бiр қалыпты бөлiктеуiн жағдайда). Сонда =0,...,N; i=1,...,m-базис.

• жағдайын қарастрайық. Сонда барлық бөліктеуде сызықты. "Қақпақтар" базисіне келемiз.

p = 3 деп алайық, сонда m = 2. Базистiк функциялардың жиынын саламыз.

I = 1 бекiтемiз. [- 1;0], [0;1] кесiндiлерде 3-шi дәреженiң полиномын аламыз.

, , , шарттары

a₀=1; a₁=0; a₂=-3; a₃=-2. Коэфициенттерін анықтайды.

Соңында [- 1;0] бөліктеуінде

[0;1] кесiндiде сол сияқты аламыз, содан аламыз:

• базистік функцияның графигі

(7.9)

Енді i = m = 2болсын. енгізу құрамыз:

шартынан , мынаны аламыз

де екені анық. Функция графигі

(7.10)

Егер p + 1ден жоғары емес барлық базистiк функциялар дәреженiң теңдеуi үшiн (C^m да жатады) үздiксiз болса негiз үйлесiмдi болып табылады.

Галеркиннiң әдiсi мұндай негiздiң қолдануында не болады? (элемент аралық ) торлар ендi нүктеге u-дың функциясын ғана емес, бiрiншi, екiншi.., (m-1шы) x бойынша туындысын бiлуге керек.

u (a + jh ) және u'_x (a + jh ) Галеркиннiң әдiсiнiң теңдеулерiнiң шешiмiнде сандық анықталатынын атап өтемiз.

Базистiк функциялар және жiктеудiң коэффициенттерiнiң саны үлкейдi.

матрица жүйелері -сирелген екенін байқаймыз , бiрақ үш диагоналды емес(егер жүйенiң ретi екiншiден жоғары).

(7.11)

Екi өлшемдi жағдайдағы келiсу. (7.11-шi сурет) келесi шамалар қапсыруы керек: 18 түйiндердегi шамалары плюс нормалы туындылардың мәндер шегiнде.

21 шарт пайда болады, демек кез келген тұрақтыны 21 алуға керек. Полином жеткiлiктi биiк дәреженi алуы керек (x⁵, y⁵ мүшелерге дейiн). сондықтан көп өлшемдi жағдайда, Келiсiлмеген базистiк функциялар немесе (m = 1 )төменгі тәртiбi қолданылады.