Шектi элементтер әдiсi
Шектi элементтер әдiстерi туралы ұғым.
Дәрiстiң мақсаты: шектi элементтер әдiстерi туралы негiзгi ұғымдар берiлсiн, базистiк функциялардың Ритцтың вариациялық жолы, құрастыруын қарап шығу.
Тақырыпқа сұрақтар:
1 ) шектi элементтер әдiсiнiң негiзгi идеясы.
2 ) Ритцтың вариациялық жолы.
3 ) базистiк функциялардың құрастыруы.
Қысқаша тақырып мазмұны:
Галеркин және Ритцтiң шектi элементтер әдiсiнiң негiзгi идеясы, 1943 жылдағы Р.Курантымен ұсыныс жасаған, бiрақ тәжiрибенiң қажеттiгi көзге түспеген. Бiрiншi компьютерлердiң пайда болуымен өткен ғасырдың 50-шi жылдарындағы интегралдауды облыста төменгi облыстарда бөлiнетiн күрделi геометриясы бар есептердiң сандық шешiмiне жаңа инженерлiк жолдарының өңдеуiндегi қажеттiлiк пайда болды. Мұндай (финит базистiк функцияларының сақтаушылары, бұл туралы төменде) төменгi облыстар және шектi элементтер атауларын алды.
7.1- сурет.
Дәл қазiр сандық әдiстер әлемдерде (ШЭӘ ) шектi элементтер әдiстерi болып таралған. Оларға жатады:
1.күрделi геометрияның облыстары үшiн бiр қалыпты торлар, екi өлшемдi және үш өлшемдi жағдайлардың есептеу мүмкiндiгi;
2."технологиялықтық" әдiстер (түзету бұдан әрi)
Қазiргi ШЭӘ XX ғасырдың 50-шi жылдарында серпiмдiлiк теориясының есептер шешiмiнде пайда болды.
Өзi таралған статикалық есептер - жүктелген конструкция туралы есеп
Ω облысы — күрделi. Мысалы, облыс 7.1- сурет көрсетiлген түрдi иемдене алады. Әрбiр оңай төменгi облыс - шектi элемент.
ШЭӘ ге дәл қазiр (Ритц ) вариациялық және (Галеркин немесе Бубнова - Галеркин) проекциялық әдiстердiң бүтін бөлігін түсiнедi.
Ритцтың вариациялық жолы
Екi есептi қарап шығамыз:
(7.1)
(7.2)
Бұл есептер ұқсас: (7.1 ) бiр өлшемдi жағдай (7.2 ) ортақ есеп болып табылады. (7.1 ) теңдеулер (7.2 ) және өздiгiнен түйiндендiру формасында жазып алынған. Функционалдар сәйкестiгіне байланысты (7.1 )және(7.2 ) есептеріне шарт қоямыз
(7.3)
және
(7.4)
Нормамен (Соболев кеңiстiгі) функциялар кеңiстiгiн қараймыз
Бұл - шектелген интегралы бар функция.
Теорема
5. Жеткiлiктi
шектi шарттардың
барлық
функцияларының арасында, (7.1 ) есептiң
шешiмi (7.3 ) функционалға ең кiшi мән
беріледі, ал шешiм (7.2 ) - (7.4 ) функционал
ретінде.
Ритц әдiсiнiң ортақ схемасы
Есептiң шешiмiн (7.1 ) түрінде iздейдi
(7.6)
-базистық
функциялар
шекаралық жағдайды қанағаттандырады,
ал
үшін
,
Егер (7.6 ) жинақтауда шексiздiкке дейiн
болса, онда бұл формула (7.1 ) есептiң дәл
шешiмiн бередi. Базистiк функциялардың
шектi саны қаралады, онда тек қана жуық
шешiмін аламыз. Мысалы, Ритцтың әдiсi
үшiн базистiк функциялардың тригонометриялық
негiз қызмет көрсете алады, жуық шешiм
ретінде Фурье қатарының шектi кесiндiсiн
аламыз.
(7.6 )- ны (7.3 )-ке қоямыз, сонда
(7.7)
(7.7)шартынан функционалдық минимумын табамыз
Ck коэффициенттерiнiң анықтауы үшiн N сызықты теңдеуінен жүйесiн аламыз. Содан есептiң шешiмiн (7.6) деп жариялаймыз.
Дәл осылай (7.4 ) функционал үшiн түсемiз. Коэффициенттердi анықтау үшiн теңдеулер жүйесiндегi сан ол да N (у бір ғана индекстi базистiк функцияда!) болады. Ұқсас функционалдың түрi (7.7 ) болады, бiрақ кесiндi бойынша интегралдар орынына кеңiстiктiң қаралатын облысы Ω бойынша екi есе шығын интегралдар, ал туындылардың орынына – градиенттер тұрады.
Ритц әдiсiнде пайда болатын бiрiншi мәселе – базистің қолайлы таңдауы. Функциялардың жиыннан шешiмге тәуелдi бола ма? Қате қалай бағалайды?
Базистiң екi түрі болады: Ритц әдiсi үшiн финит сақтаушысы бар функциялар базисі және глобалдi базис.
Ритц
әдiсiн қажетті және жеткiлiктi шешу үшiн
және
сызықты комбинация бар болу үшiн
егер есептеулер тура жүргiзiлсе.
Ритц әдiсiндегi қолдану үшiн мүмкiн базис
q = 1, ..., N.
Базис
[0, 1] кесiндiде:
Tj(x)
— j - Чебышевтiң полиномы;
Ритц әдiсiнiң базисі бойынша жiктеуiнiң коэффициенттерiн анықтау үшiн сызықты теңдеулер жүйесiнiң толтырылған матрицасы пайда болады. "Сәтсiз" қолданулар базис жағдайында оның саны жеткiлiктi.
Ритц әдiсiнiң технологиялығы төмендегiдей болады. Тиiстi жүйенiң матрицасы өздiгiнен түйiндес диагонал көбі базистің дұрыс таңдауында болып табылады. Итерациялық әдiстермен қиындатылған жүйенi жылдам шешуге болады.
7.2 - сурет.
Финит
сақтаушысы бар функциялар
базисін қолдана отырып, Ритц
әдiсiн
қарапайым вариантын қарап шығамыз. x
нүктелерiнiң жиыны үшiн
функцияның сақтаушы екенін ескертемiз.
xj
(торды ) нүктелерiнiң [0, X] кесiндiсiне
бөлiктеу енгiземiз: 0 = x0
< x1
< ... <
xn
=
Х. Базистiк функцияларды саламыз:
екенін
базистің кемшiлiгi интегралдар және
туындылар қорытылған функциялармен
анықталатынын тексеруге болады. Бұл
базис қадыры базистiк
функциялар
ортогоналы болып табылады.
болсын,
онда
ал қалған барлық скалярлық көбейтулер нөлге тең.
Сонымен бiрге, базистiк функциялардың туындылары интегралдарға оңай алу жеткiлiктi. Әрбiр мұндай базистiк функцияның сақтаушысы шекті элемент деп аталады, мұндай базистің қолдануы бар Ритц әдiсi - ШЭӘнiң бiрiншi әдiсi. Сонымен бiрге кейде шектi элементін финит сақтаушысы бар базистiк функциялары деп атайды.
Галеркиннiң проекциялық әдiсiнiң тұжырымы
(7.1 ) және (7.2 ) есептi бұрынғыша қараймыз.
Дифференциалды
операторларды
сынып
ендiгәрi қарастырылады.
Ритц
әдiсiнiң
басты жетiспеушiлiгi - тек қана вариациялық
тұжырым рұқсат ететiн дифференциалды
есептерге қолданылады, яғни сызықты
жағдайда
- өздiгiнен түйiндендiрілген оң нақтылы
(барлық
меншiктi
сандар оң ) оператор.
Қатар
(7.1 ) және (7.2 ) тұжырыммен жазуды пайдалана
(қорытылған ) әлсiз
шешiм анықтаймыз:
(7,8)
v
-кез
келген
функциясы бұрын функционалдық кеңiстiктен
қарастырылған,
скалярлық көбейту сияқты анықталған
(7.8 ) теңдiгі есептiң қорытылған шешiмiн анықтайды. Егер белгiлi u- есептiң классикалық шешiмi, онда ол (7.8 ) қорытылған шешiмнің мағынасы болып табылатыны белгілі. Керiсi, түсiнiктi себептер бойынша, қате - C1 немесе C2 қарағанда функциялар "көбiрек". Есептерде қорытылған шешiм бар бола алады, бiрақ классикалық болмауы мүмкін.
Енгiзiлген базисі бар кеңiстiктiң шектi өлшемін iшкi кеңiстiгiне қарап шығамыз:
-
базистiк
функциялар
Ритц
әдiсi
үшiн
олар базистiк
функциялар
қасиеттермен болуы керек.
бұдан
(7.8 ) орынына енді таразы
функцияларының шектi
жүйесi (7.8) үшiн қарап шығамыз. (7.8) орнына
таразының функцияларына шектi жүйесiне
проекциялауын қарап шығамыз. Сонымен
түсіндірмесін енгiземiз
(7.9)
бұл жерде R - байланыссыздық. (7.8 ) базистiк функциялар бойынша жiктеудiң алмастыруларынан кейiн, байланыстардың жүйесiн аламыз
(7.10)
Функциялармен
байланыссыздыққа
осындайда жетедi, оның ортогональ
қосымшасына жатуға анықталатын
кеңiстiктегi байланыссыздықтың минимумы:
барлық k үшiн
.
Ендi таразының функциялары
базисті құрастырту үшiн талап етуi керек.
Табиғи базистiк таразының функциялар
ретiнде қолдану. Осыдан Галеркин
проекциялық
әдiсiн
аламыз.
немесе матрица турінде:
Бұл байланыстар коэффициенттердiң Ритц әдiсi үшiн теңдеулер жүйесiнiң қорытындысында пайда болады.
Сызықты дифференциалды оператордың түйiндесін скалярлық көбейтулердi есептеуге қолданылды. (7.10 ) оператордың байланыс түйiндестiгi қорытындыда қолданылмады. Демек , Галеркин әдiсi дифференциалды оператор (сызықты емес) жағдайға және жалпылауға болады. "Функциялар - қақпақтары" жоғары енгiзiлген қолдануларда базистiк функциялар ретiнде ШЭӘ тәсілін аламыз. (7.1 ) және (7.2 ) есептер әдiсі үшiн Ритц әдiсi байланыста болады.
Шектi элементтердiң сұлбасын құрастыруға мысал
Есептер санының кiшiрейтулерi үшiн санаймыз
(7.1 ) есептiң өздігінен кездеспейтін аналогiн қарап шығамыз:
Кездесетiн теңдеудi табамыз:
Бұл
байланыстан
шартын
оңай аламыз.
Базис
бойынша жiктеудi ендi жазып аламыз:
бастапқы дифференциалды теңдеуге қоямыз:
Сол бөлiктегi әрбiр қосындысын бөлек қарап шығамыз:
(
7.11)
Алғашқы
екi қосылатын оң бөлiктерде базистiк
функциялардың
сақтаушылары финит болғанда пайда
болады. Соңғы қосындысы оң бөлiгiнде
интегралдаумен пайда болады. Не үшiн
бөліктеп интегралдау керек? Демек,
бұл
- базистiк
функцияның
туындылары, бiрақ сырттай қарағанда -
скалярлық көбейтулердегi қорытылған
функциялар, ал
- функция, күрделiлiктер интегралдауда
пайда болады.
Қорытындылай келгенде , Ck кейін алдында коэффициентін есептеу қажет.
k(x)
функциясы
үзiктi болып есептеледi.
Кесiндi
ретiнде
есепке ала
отырып
қалған функцияны
қандайда
болмасын
аппроксимацияны
қолдану тиiс.
Алғашқы екi қосылатын (7.11 ) оң бөлiктерде шектi шарттардан Ck тәуелдi болады және анықтау үшiн теңдеулердiң оң жүйенiң бiр бөлiктерi жатады.
Ендi қарап шығамыз
Ck коэффициенттері келесi болады:
Бұл жерде q(x) функциясы тұрақты және үзiктi деп есептелінеді.
p (x ) соңғы қосынды өрнегін бередi
яғни
есептелетiн интегралдардың әдiсiн ұқсас
Нумеровтың аппроксимациясы ретінде
iс жүзiнде аламыз. Сонымен бiрге, мағыналы
айырмашылық бар болады. Торлы функция
- бұл берілген кестелiк функция. ШЭӘ
(жуық ) шешiм - бұл торлы функция емес,
жай ғана элемент
Базистiк функцияларды құрастыру
ШЭӘ математикалық базис - Галеркин әдiсi және Ритц вариациялық әдiсi - екiншi XX ғасырдың он жылдығынан бастай дамыды. Соңғы жылдардың ШЭӘ-сiне өрлеу деп аталатын үйлесiмдi базистік жеткiлiктi тегiстiкке ие болатын базистiк функцияларының жиындарының құрастыруында болады.
Базис "қақпақтар"- дан екi өлшемдi жағдайда . Базистiк функциялардың процесстің құрастырулуы:
• облыстар триангуляцияны – әрбiр базистiк функциясының сақтаушысы болып табылған үшбұрыштарға бөлiктеу;
• базистiк функцияларды құрастыру.
(7.3- сурет белгілену) триангуляциялық талаптары.
7.3-
сурет.
Мысалдар үйлесiмдi базистiк функцияларға. Егер "Қақпақтар" базисі қолданылса, онда ШЭӘ шешiм (шектi элементтердiң ұштастыруының жанында) әрбiр түйiнде бiрiншi туындының үзiлуiн алады. Бұл ШЭӘ-нiң базис таңдауы артынан болады. Ізделiп отырған функция үздiксiз.
Үздiксiз бiрiншi туындыға ие болатын шешiм табу керек. Базис функцияларының жиынын саламыз:
Шекті элементтің өлшемі 1 ге тең деп аламыз. Бiр өлшемдi тор әрбiр элемент үшiн сызықты өрнектеу табылады, 1-шi ұзындықтың кесiндiсiне аударатын осы элемент. Базис функциясы бар болатынын қоямыз
Әрбір
кесіндіде [- 1;0] , [0;1]-полиномы. x = ± 1 нүктеде
және оның туындыларында
m – 1 ретімен нөлге тең. x = 0 нүктеде
Онда
j
= 0, ..., N;
i
= 1, ..., m
– базис
болады.
жағдайын
қарастырамыз.
онда
әрбір кесіндіге функция сызықты болады.
p = 3 аламыз, онда m = 2. Базис функциясын құрамыз.
i = 1 қарастырамыз. [- 1;0], [0;1]кесіндіден 3 полином дәрежесін аламыз.
Шарт:
,
,
,
коэффициенттерін анықтайды
a0 = 1; a1 = 0; a2 = - 3; a3 = - 2
Барлық
кесіндіде [- 1;0]
Ұқсас
[ 0;1] кесіндісінен бұдан
аламыз.
Базистік
функция
графигі
7.9 сурет. көрсетілген