12.Уравнения параболического типа. Постановка краевых задач.

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции .(1)

К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти. Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой. Количество тепла ∆Q , которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на ∆u: (2)

Процесс распределения температуры u = u( x,y,z,t ) в изотропном теле описывается уравнением.

Частные случаи уравнения теплопроводности 1. Распространение тепла без тепловыделения. Если внутри рассматриваемой области нет источников тепла, т.е. f = 0, то уравнение принимает более простой вид(4)

2.Установившийся поток тепла. когда температура в каждой точке тела не меняется со временем, уравнение приобретает форму уравнения Пуассона (5)

3. Установившийся поток тепла без тепловыделения. В этом случае 0 t u = ∂ ∂ и f = 0, поэтому распределение температуры подчиняется уравнению Лапласа(6)

Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в случае трех пространственных переменных ставится следующим образом(7),(8)

Необходимым условием существования классического решения начально-краевой задачи является условие согласования начального и граничного условий(9)

13.Метод Фурье в 1й краевой задаче для уравнения теплопроводности.

Решить задачу о колебании струны с закрепленными концами, если начальные скорости точек равны нулю, внешние силы отсутствуют, а начальное отклонение имеет форму параболы, осью симметрии которой служит прямая , а вершиной – точка .уравнение, описывающее колебание этой струны: .концы закреплены, то . начальные скорости точек раны нулю: начальное отклонение имеет форму параболы, осью симметрии которой служит прямая , а вершиной – точка .Общий вид уравнения параболы: . Известно, что эта парабола проходит через три точки: , причем — её вершина. Подставим эти координаты в уравнение параболы и получим систему(10)