1. Уравнения в частных производных 2го порядка.Лемма

Уравнение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные, называется дифференциальным уравнением в частных производных. Порядок высшей частной производной, входящей в уравнение, определяет порядок уравнения. Для функции u=u(x1,x2,…,xn) n независимых переменных x1,x2,…

уравнение k -го порядка имеет вид: F(x1,…,xn,u, ∂u/∂x,…, ∂u/∂xn,…, (∂^k) u/∂x1^k1…∂xn^kn)=0

k1+k2+…=k. Общий вид уравнений: F( x,y,u ,ux uy )= 0; F(x,y,ux,uy,uxx,uxy,uyy)=0

Решением уравнения в частных производных называется всякая функция u,которая обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

Свойства:1) Рассмотрим для функции u уравнение первого порядка вида ∂u/ ∂x=0. поскольку, дифференцируя ϕ(y) по x , мы получим нуль, а это значит, что равенство выполняется. Следовательно, решение (1.83) содержит одну произвольную функцию ϕ(y). В этом и заключается коренное отличие решения уравнения в частных производных первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения того же порядка.

2) Рассмотрим уравнение ∂u/∂y=f(y). f(y) - заданная функция. Все функции u( y,x ), удовлетворяющие уравнению ,имеют вид: u( x,y ) = f(y)dy + ψ(x) ∫ , где ψ(x) - произвольная функция от x. Найденное решение данного уравнения зависит от одной произвольной функции (ψ(x)), т.е. является общим. Рассмотрим теперь уравнение второго порядка: ∂^2u/∂x∂y=0.положим ∂u/∂y=v,→ ∂/∂x(∂u/∂y)= ∂v/∂x=0. Однако, общее решение уравнения ∂v/∂x=0имеет вид v = f(y), где f (y) - произвольная функция. Исходное уравнение перепишем так: ∂u/∂y=f(y). Согласно его общим решением будет функция: u( x,y ) =∫ f(y)dy + ψ(x) . Так как f(y) - произвольная функция, то интеграл от нее будет также произвольной функцией y , которую обозначим через ϕ(y). В результате решение принимает вид u( x,y ) = ψ(x)+ ϕ(y), где ψ(x), ϕ(y) - произвольные дифференцируемые функции. Приведенные уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения второго порядка две произвольные функции.

2. Классификация уравнений 2го порядка.

Линейные уравнения второго порядка в частных производных делят на три класса, в каждом из которых есть простейшие уравнения, называемые каноническими. Запишем линейное относительно производных второго порядка уравнение в более краткой форме:

Auxx+ 2Buxy+ Cuyy+F1 ( x,y, u,ux,uy ) =0. Классификация уравнений вида (1.92) проводится в соответствии со знаком дискриминанта ∆= B^2-AC. Если в некоторой области G⊂ G1 выражение B^2- AC сохраняет знак, то уравнение в этой области принадлежит: а) к гиперболическому типу, если B^2- AC >0 ; б) параболическому типу, если B^2- AC =0 ; в) эллиптическому типу, если B^2- AC<0 . Если уравнение рассматривается в области задания G , то указанные три типа не всегда дают исчерпывающую классификацию, так как выражение B^2-ACможет не сохранять знак во всей области. Тогда должна существовать кривая L, вдоль которой выражение B^2- AC=0 ; эта кривая называется линией параболического вырождения. При этом возможны два случая: 1) во всех точках G , кроме L, B^2-AC сохраняет знак, тогда уравнение называется уравнением гиперболического или эллиптического типа с линией вырождения L; 2) выражение B^2- AC меняет знак в области G , тогда уравнение называется уравнением смешанного типа. Уравнение вида: ∂^2u/∂x∂y=F(x,y,u, ∂u/∂x, ∂u/∂y) называется каноническим уравнением гиперболического типа. Уравнение вида: ∂^2u/∂y^2=F(x,y,u, ∂u/∂x, ∂u/∂y) называется каноническим уравнением параболического типа. Уравнение вида: ∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=F(x,y,u, ∂u/∂x, ∂u/∂y) называется каноническим уравнением эллиптического типа. Уравнение может быть приведено к уравнению, эквивалентному данному путем введения вместо x и y новых переменных ξ и η с помощью зависимостей ξ = ξ( y,x ), η = η( y,x ). При этом от функций ξ( y,x ), η( y,x ) требуется, чтобы они были дважды непрерывно дифференцируемыми и чтобы якобиан D≠0. Для приведения уравнения к каноническому виду надо составить вспомогательное обыкновенное дифференциальное уравнение A(dy)^-2Bdxdy+ C(dx)^ 2=0,которое называется характеристическим. Φ( x,y) = C1 и ψ (x,y) = C2 называют характеристиками данного уравнения.