5.5.2. Форма Безье

Рівняння для шматків Безье виводяться так само, як і для бикубических шматків Эрмита. У результаті одержимо

( 5.58 )

Геометрична матриця P складається з 16 керуючих крапок (мал. 5.18). Поверхні Безье використовуються часто при інтерактивному проектуванні по тим же причинам, що і кризые Безье: керуючі крапки дозволяють легко змінювати форму шматка поверх-

Мал. 5.18 . Шістнадцять керуючих крапок бікубічного шматка Безьє.

Мал. 5.19. Два шматки поверхні Безьєе, що з'єднуються уздовж ребра, обумовленого крапками Р ₁₄, Р₂₄, Р ₃₄ і P ₄₄

ности. Поверхні Безье, так само як і криві Безье, мають властивість опуклої оболонки.

Для досягнення безперервності в поперечному напрямку щодо ребер шматків необхідна рівність чотирьох керуючих крапок, що належать загальним ребрам сусідніх шматків. Для безперервності дотичного вектора і, отже, С ⁽ⁱ⁾-неперервність потрібно, крім того, щоб дві четвірки керуючих крапок по обидва боки загального ребра були коллинеарны іншим крапкам ребра. Таким чином, на мал. 5.19 коллиніарними будуть наступні сукупності керуючих крапок: (P ₁₃, Р ₁₄ Р ₁₅ ), ( Р ₂₃ Р₂₄, Р ₂₅), (P₃₃ , Р ₃₄, Р ₃₅ ) і ( Р ₄₃, Р₄₄, Р ₄₅ ). Відносини довжин колінеарних відрізків повинні бути постійними. 5.5.3. Форма В-сплайнів

Шматки у формі В-сплайнів представляються у виді

( 5.59 )

Тут, як і для кривих у формі В-сплайнов, досягається С⁽²⁾-безперервність. Матриця, що складається з 16 керуючих крапок, описує шматок, а також у загальному випадку і крапки, що не лежать на самому шматку.

5.6. Перетворення кривих і шматків поверхонь

Для перетворення просторової чи кривої шматка поверхні можна обчислити крапки, що належать кривій чи шматку, а потім перетворити ці крапки. На щастя, існує інший, більш зручний спосіб:можна перетворити геометричну матрицю крапок (точніше крапок і дотичних векторів), що визначає криву чи поверхню, і за допомогою цієї модифікованої матриці генерувати крапки перетвореної кривої чи поверхні. Такий підхід можна застосовувати до всіх представлень кривих і шматків поверхонь.

Для того щоб перетворити геометричну матрицю, кожна крапка і кожен дотичний вектор повинні бути записані у виді чотирьохелементних векторів-рядків, при цьому до крапок як четвертий компонент додається 1 (одиниця), а до дотичних векторів — 0. Вище говорилося, що четвертий компонент вектора-рядка збільшується на компонент переносу матриці перетворення розміром 4x4. Оскільки дотичний вектор задає не положення, а напрямок, додавання як четвертий компонент 0 приводить до того, що вектор не переноситься, але може бути повернутий і промасштабований.

Тоді модифікація переписаної геометричної матриці проводиться за допомогою матриці перетворення розміром 4 X 4. Таким чином, бикубічня поверхня може бути перетворена шляхом зміни лише 16 елементів її геометричної матриці, а не нескінченного числа крапок, що належать поверхні.