4.9. Композиція тривимірних перетворень
Шляхом об'єднання елементарних тривимірних перетворень можна одержати інші перетворення. Завдання полягає в тім, щоб перетворити відрізки P 1 Р2 і Pi P 3 (мал.4.12) з початкової позиції в кінцеву [17]. Крапка Рi переноситься в початок координат, P 1P2 розташовується уздовж негативної півосі Z, a P 1P 3 міститься в площині YZ у тій же половині, де вісь Y позитивна. На довжини відрізків перетворення не впливає.
Мал. 4.12 Перетворення крапок Рi, Р 2 і P 3 іэ початкової позиції в кінцеву
Як і колись, розіб'ємо складну задачу на більш прості. У данному випадку перетворення можна виконати за чотири кроки:
.Перенос крапки Р i в початок координат.
.Поворот навколо осі Y до сполучення Р 1 Р 2 із площиною YZ. З.Поворот навколо осі X до сполучення Р ( Р 2 із негативною піввіссю Z. 4.Поворот навколо осі Z до сполучення P i P 3 із площиною YZ. Крок !. Перенос Р 1 в початок кординат:
Застосування Т до Рь Р2 і Р 3 дає
Крок 2. Поворот навколо вісі Y. На мал.4.3. показані відрізки Р 1Р 2 після кроку 1 і проекція Р 1 Р 2 (Р 2п’) на площину XZ. Поворот проводиться на додатній кут , для якого
де
Крок З.Поворот навколо осі X. На мал.4.4 показаний відрізок P 1 P 2 після кроку 2.
Малюнок4.3 - Поворот навколо осі Y; Малюнок 4.4 - Поворот навколо осі X;
проекція Р 1 ‘Р2 ‘ обертаєтся Р 1”” Р 2’’ повертається до
до сполучення з негативною сполучення з негативної
піввіссю Z піввіссю Z
Поворот виробляється на негативний кут φ, для якого
де
Запис ||Р 1 Р 2 || позначає довжину Р 1 Р 2. Результатом повороту на кроці 3 є
P 3 ‘’’ = [ x’’’3 y’’’3 z’’’3 1 ] = P3 * T( -x1 , -y1, -z1 ) *Rxθ) * Ry(φ) (4-21)
Поворот здійснюється на позитивний кут α, для якого
Соs
α
= у’’’ 3
/
D 2.
, Sin α = x’’’ 3
/ D2
D2
.=
Крок 4 є останнім кроком, після якого виходить кінцевий результат, показаний на мал.4.2. .
Результуюча матриця
T( -x1 –y1, -z1 ) * Ry(θ) * Rx(φ) Rz(α) = T * R (4..22)
описує шукане перетворення, де R = Ry(θ) * Rx(φ) Rz(α)
Перевірку того, що крапка Pi переводиться в початок координат, крапка Р 2 міститься на негативну піввісь Z, а крапка Рз переноситься в позитивну по .Y половину YZ шляхом застосування цього перетворення до Pi, Р 2 і P з, надаємо читачу як вправу. •
Малюнок 4.5 - Поворот навколо осі Z; проекція Р 1"’Р 3"' повертається до сполучення з віссю Y .
4.10. ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЯК ЗМІНА СИСТЕМИ КООРДИНАТ. Рівнобіжний перенос осей координат . Розглянуті раніше геометричні перетворення описували зміни положення крапок ГО щодо деякої фіксованої системи координат (СК). Інакше кажучи, кожна крапка ГО перемішається з первісного положення Р (х,у) у деяке перетворене положення Р’(х'у’) у відповідності з (4.23):
P’ = P * _Q. (4.23)
а система координат при цьому не змінює свого положення (Q-матриця узагальненого перетворення). Того ж ефекту, тобто зміни положення ГО щодо системи координат, очевидно можна домогтися –шляхом зміни положення системи координат щодо фіксованого об'єкта. Для того щоб довести, що обидва способи організації геометричних перетворень об'єкта еквівалентні, досить показати, що в обох випадках координати перетвореного положення деякої крапки об'єкта однакові. Для цього спочатку згадаємо як визначити координати ГО (крапки) при рівнобіжному переносі координатних осей на площині (мал. 4.6). - ' '
Мал. 4.6. Рівнобіжний перенос системи координат
Тут будемо вважати заданими координати крапки P(x 1, y 1 ) у вихідній системі декартовых координат X 1O 1 Y 1. Зробимо рівнобіжний перенос вихідної системи координат на деяку величину а уздовж осі X 1 і величину Ь уздовж осі Yi, після чого вона зайняла положення X 2 O 2 Y 2. Координати нового центра О 2 вихідній системі координат при цьому очевидно будуть рівні: O 2 = (a,b). У нашому прикладі:
а = -Δх, Δх>0; Ь = Δу, Δу>0. ( 4.24 )
Необхідно визначити координати крапки Р • новій системі координат X 2 Q 2 Y 2.
Очевидно, що для кожної точки координатного простору X 2 О 2 Y 2 (у тому числі і для крапок, що лежать на осях) і відповідної їй крапці простору Х 1О 1 У 1 справедливе наступне:
( 4.25
)
На підставі (4.25), однорідні координати крапки Р в X 2 O 2 Y 2 (P2) можна записати в матричному виді:
(
4.26 )
P 2 = P 1 A 12 (4.27)
Для розглянутого приклада (мал.4.6), розкриваючи (4.27), за умови (4.24), одержимо:
(4.28)
З (4.28) випливає
(4.29
)
що відповідає (4.25) і підтверджує правильність приведених вище міркувань.
Неважко помітять, що якби спочатку були задані координати крапки Р в X 2 O 2 Y 2 - Р2, то Рi можна визначати з (4.27):
P 1 = P 2 A 21. ( 4.30 )
де: А 21 = А 12 –1 - матриця переходу із нової ( X 2 O 2 Y 2) в стару (X 1 О 1 Y 1 ) систему координат. Для нашого випадку
(4.31
)
Висновок:Якщо ми маєм дві паралельні системи координат, зміщені •друг відносно друга на величину (a, b ) , то співвідношення координат деякої фиксированної крапки (Р) простору в цих кординатних системах визначається виразами ( 4.27 ) або ( 4.30 ) .
Цей же підхід має місце і у випадку тривимірного простору.
Лекція 5. Подавання просторових форм бикубічною мережею. Зглажування поверхнь і кривих. Формати Безьє , Ерміта і В- сплайни. 5.1. ПОЛІГОНАЛЬНІ МЕРЕЖІ.
Полігональна мережа являє собою сукупність ребер, вершин і багатокутників. Вершини з'єднуються ребрами, а багатокутники розглядаються як послідовності ребер чи вершин. Мережу можна представити декількома різними способами; кожний з них має свої достоїнства і недоліки. Прикладному програмісту варто вибрати спосіб, найбільш придатний для його задачі. Зрозуміло, в одній задачі може з успіхом застосовуватися відразу кілька представлень: для зовнішньої пам'яті, внутрішнього використання і користувача.
Для оцінки цих представлень використовуються наступні критерії: - Обсяг необхідної пам'яті. - Простота ідентифікації ребер, інцидентних вершині. - Простота ідентифікації багатокутників, яким належить дане ребро. - Простота процедури пошуку вершин, що утворять ребро. - Легкість визначення всіх ребер, що утворять багатокутник. - Простота одержання зображення полігональної сітки. - Простота виявлення помилок у представленні (наприклад, відсутність ребра, вершини чи багатокутника).
' Ми ще повернемося до цих критеріїв, коли будемо розглядати представлення полігональних мереж. У загальному випадку чим більш явно виражені залежності між багатокутниками, вершинами і ребрами, тим швидше працюють операції над ними і тем більше пам'яті вимагає відповідне представлення. Розглянемо тепер три способи опису полігональних сіток.