Для прямокутної ізометрії коефіцієнти перекручувань по осях однакові

Kx = Ky = Kz . (4.16)

Тобто, якщо для одиничних векторів натурального масштабу по осях X, Y,Z можна писати:

Ux = Uy = Uz, (4.17)

тj їхня ізометрія: ' .

Ux' = Uy' = Uz'. (4.18)

Для нашого приклада:

Ux = (1,0,0,1); Uy = (0,l,Q,l); Uz = (0,0,1,1), (4.19)

тоді . .

Ux' = Ux • Qaкc = [1,0,0,1] • Qакс = [cos φ, (- sin φ sin θ ), 0, 1] , (4.20)

Uy' = Uy-QaKc = [0,l,0,l]Qaкс =[0, cos θ ,0,1] , (4.21)

Uz' = Uz • Оакс = [0,0,1,1] • Qaкс =[-sin φ, (-cos φ sin θ), 0, I] • (4.22)

На підставі (4.18) можна записати: .

|Ux' I =1U _y’ I =I Uz' I,. (4.23)

Звідси справедлива наступна система рівнянь:

Модулі векторів I Ux | Ι.Uyl і I Uzl визначимо з виражень ( 4.20)...(4.22). У результаті система ( 4.24) придбає вид:

cos² φ + (sin ² φ sin² θ) = cos² θ (4.25)

sin² φ + (cos² φ sin² θ) = cos² θ . У результаті рішення системи одержимо: φ = 45°; θ = 35° 26'. Прямокутна диметрия.

Kx = Ky ≠ Kz , (4.26)

Ux' = Uy', Uz'=l/2Uy'. (4.27)

За аналогією складаємо систему рівнянь і в результаті її рішення одержимо наступні значення кутів для прямокутної диметрии. φ.= 22°'13'; θ = 20° 42'.

4.7. Косокутні проекції •

Розглянемо тепер косокутну проекцію, матриця якої может бути записана виходячи зі значень α і L (мал.4.8). На мал.4.8 зображений одиничний куб, спроєцирований на XY-пло-щину. З малюнка видно, що проекцією крапки Р (0,0,1), що знаходиться на задній стороні одиничного куба, є крапка Р' (L cos α, L sin α, 0), що належить площини ху. По визначенню це оз-начає, що напрямок проектування збігається з відрізком РР', що проходить через ці дві крапки (мал. 4.9). Цей напрямок є Р' - Р = (L cos α, L sin α, -1). Напрямок проектування складає кут β із площиною ху.

Мал. 4.8 Косокутна рівнобіжна проекція одиничного куба. Крапка Р' є проекцією крапки Р (О, О, I).

Мал. 4.9. Косокутна рівнобіжна проекція Р' (Lcos α, L sin α, 0) крапки Р (О, О, 1).

Тепер розглянемо довільну крапку х, у, z і визначимо її косокутну проекцію (х_р, у_р) на площину ху. На мал. 4.10 показані два зображення крапки і проектор, що рівнобіжний проектору, приведеному на мал. 4.9. Рівняння для х-и у- координат проектора як функцій z мають вид y=mz+b. Вирішуючи два рівняння відносно х_р і у_р. відзначених на мал. 4.10, одержуємо

х_р = х + z (L cos α), y_p = у + z (L sin α). ( 4.28)

Матриця розміром 4x4,що виконує ці дії і, отже, описує косокутну проекцію; має вид

Застосування матриці М_кос приведе до зрушення і наступного проектування об'єкта: площини з постійною координатою z = z ₁ переносяться в напрямку х = z ₁ L cos α і в напрямку y на z ₁ L sin α і потім проектуються на площину z=0. Зрушення зберігає паралельність прямих, а також кути і відстані в площинах, рівнобіжні осі z

Малюнок 4.10 - Косокутна рівнобіжна проекція (X_p>Y_p,0) крапки P(x,y,z)'

4.8. Матричне представлення тривимірних перетворень

Аналогічно тому,' як двовимірні перетворення описуються матрицями 3x3, тривимірні перетворення можуть бути представлені у виді матриць розміром. 4 х 4. І тоді тривимірна крапка (x,y,z) записується в' однорідних координатах як (W-x,W-y,W-z,W), де W*0. Якщо W#l, для одержання тривимірних декартовых координат крапки (x,y,z) перші три однорідні координати поділяються на W. Звідси, зокрема, випливає, що дві крапки Н ₁ і Н₂ у просторі однорідних координат описують ту саму крапку тривимірного простору в тім і тільки в тому випадку, коли H ₁=cH ₂ для будь-якої константи c, не рівної нулю.

Тривимірна система координат, застосовувана в даному посібнику, є правобічно. (мал.3.2). Mи прийняли угоду, відповідно до якої позитивними будемо вважати такі повороти, при яких (якщо , подивитися з кінця позитивної півосі в напрямку початку координат) поворот на 90 проти годинникової стрілки буде переводити одну позитивну піввісь в іншу: На основі цієї угоди будується наступна таблиця, яку можна використовувати як для правих, так і для лівих систем координат:

Эги позитивні напрямки відзначені також на мал.4.2.

Ми застосовуємо тут правобічну систему координат,, оскільки вона добре знайома більшості людей, хоча в тривимірній графіці частіше зручна лівобічна система, тому що її легше представити накладеною на поверхню екрана дисплея (мал.4.11). Це дозволяє природно інтерпретировати той факт, що крапки з великими значеннями z знаходяться далі від спостерігача. Відзначимо, що в лівосторонній системі позитивними будуть повороти, виконувані по годинній стрілці, якщо дивитися з кінця позитивної півосі в напрямку початку координат.

Малюнок 4.11 - Лівобічна система координат

Тривимірний перенос є простим розширенням двовимірного:

Масштабування розширюється аналогічним образом: •

Справді, [xyz l] *S(Sx, Sy, Sz) = [ Sx * x Sy *y Sz *z 1j.

Двовимірний поворот, описуваний рівнянням (3.32), є в той же час тривимірним поворотом навколо осі Z.

У тривимірному просторі поворот навколо осі Z описує матриця:

Це легко перевірити: у результаті повороту на 90° вектора [1 0 0 1], що є одиничним вектором осі X, повинний вийти одиничний вектор [0 1 0 1] вісі Y. Обчислюючи добуток

отримаємо очикуваний результат [ 0 1 0 1 ]

Матриця повороту наколо осі X має вид

Матриця повороту навколо осі Y записується у виді

Стовпці (і рядки) верхньої лівої матриці розміром 3x3 матриць Rz(θ), R _y (θ) і Rx(θ) являють собою ортогональні одиничні вектори, інтерпритація яким така ж, що й у двовимірному випадку.

Всі ці матриці перетворень мають зворотні матриці. Матриця, зворотня Т, виходить підстановкою знака мінус перед Δх, Δу і Δz; зворотна S зміною Sx, Sy і Sz на зворотні їм значення, а для кожної з трьох матриць повороту - вибором негативного кута повороту.

Результатом довільної послідовності поворотів навколо осей X, Y і Z. є матриця, що має вид

Подматрицу повороту розміром 3x3 називають ортогональною, оскільки її стовпці є взаємно ортогональними одиничними векторами. При повороті, що задається матрицею, ці одиничні вектори сполучаються з осями X, Y і Z, Іноді виникає необхідність визначити матрицю повороту, що відповідає таким напрямкам. Матриці повороту зберігають довжину і кути, а матриці масштабування і переносу не зберігають.

Для будь-якої ортогональної матриці В зворотна матриця збігається з транспонованою: В ^-1 = B ^т . Це результат є корисним, оскільки обчислювати матрицю, зворотну матриці повороту, приходиться часто. У дійсності для одержання транспонованої матриці не вимагаються навіть взаємні пересилання між елементами масиву, що описує матрицю. Необхідно тільки при виборі елементів масиву поміняти місцями індекси рядків і стовпців. Відзначимо, що цей метод визначення зворотної матриці дасть той же результат, що і спосіб звертання Rx, Ry, Rz, заснований на підстановці знака мінус перед кутом ѳ.

Можна перемножити довільне число матриць повороту, масштабування і переносу. Результат завжди буде мати вид

Верхня ліва подматрица R розміром 3x3 (як колись подматрица розміром 2x2) буде описувати сумарні поворот і масштабуровання, у той час як підматриця Т буде задавати наступний сукупний перенос.