Нахождение всех корней уравнения

Недостатком почти всех итерационных методов нахождения корней является то, что они при однократном применении позволяют найти лишь один корень функции, к тому же, мы не знаем какой именно.

Чтобы найти другие корни, можно было бы брать новые стартовые точки и применять метод вновь, но нет гарантии, что при этом итерации сойдутся к новому корню, а не к уже найденному, если вообще сойдутся.

Для поиска других корней используется метод удаления корней.

Пусть   — корень функции  , рассмотрим функцию . Точка   будет являться корнем функции   на единицу меньшей кратности, чем , при этом все остальные корни у функций   и   совпадают с учетом кратности.

Применяя тот или иной метод нахождения корней к функции  , мы найдем новый корень   (который может в случае кратных корней и совпадать с  ). Далее можно рассмотреть функцию   и искать корни у неё.

Повторяя указанную процедуру, можно найти все корни   с учетом кратности.

Заметим, что когда мы производим деление на тот или иной корень  , то в действительности мы делим лишь на найденное приближение  , и, тем самым, несколько сдвигаем корни вспомогательной функции относительно истинных корней функции  . Это может привести к значительным погрешностям, если процедура отделения применялась уже достаточное число раз.

Чтобы избежать этого, с помощью вспомогательных функций вычисляются лишь первые итерации, а окончательные проводятся по исходной функции  , используя в качестве стартового приближения, последнюю итерацию, полученную по вспомогательной функции.

Мы рассмотрели решение уравнений только в одномерном случае, нахождение решений многомерных уравнений существенно более трудная задача.