Пример 2

Используя данные предыдущей задачи, требуется ответить, каким должен быть объем выборочной совокупности при условии, что: 1) предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов (с вероятностью 0,997) была бы не более 0,5 млн. сомони; 2) то же при вероятности 0,954; 3) предельная ошибка доли (с вероятностью 0,954) была бы не более 15%.

Решение:

Для нахождения численности случайной и механической выборок используются следующие формулы:

Повторный отбор при определении:
Среднего размера ошибки признака
Средней ошибки доли признака
Бесповторный отбор при определении:
Среднего размера ошибки признака
Средней ошибки доли признака

1) Известно, что N=500; ∆_х=0,5 млн. сомони; ; Р=0,997; t=3.

Найдем объем выборки для расчета ошибки средней:

при повторном отборе -

при бесповторном отборе -

2) Известно, что N=500; ∆_х=0,5 млн. сомони; ; Р=0,954; t=2.

Найдем объем выборки для расчета ошибки средней:

при повторном отборе -

при бесповторном отборе -

3) Известно, что N=500;∆_ω=0,15; ω=0,66; Р=0,954; t=2.

Объем выборки для расчета доли будет:

при повторном отборе -

при бесповторном отборе -

Выводы: 1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку; 2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.

Механическая выборка. Данная выборка заключается в отборе единиц из общего списка единиц генеральной совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процентом отбора. При решении задач на определение средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, следует использовать формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе.

Типическая выборка. Эта выборка применяется в тех случаях, когда единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типичных групп. Отбор единиц в выборку производится внутри этих групп пропорционально их объему на основе использования собственно-случайной или механической выборки¹.

Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:

– повторный отбор;

– бесповторный отбор,

где – средняя из внутри групповых дисперсий.

Пример 3

На заводе 1000 рабочих вырабатывают одноименную продукцию. Из них со стажем работы до пяти лет трудятся 400 чел., а более пяти – 600 чел. Для изучения среднегодовой выработки и установления доли квалифицированных рабочих проведена 10% - ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности рабочих по указанным группам (внутри групп применялся случайный метод отбора).

На основе обследования получены следующие данные:

Группы рабочих со стажем работы	Общая числен ность рабочих, чел., N	Число обследован ных рабочих, чел., n	Средне дневная выработ ка, шт.,	Диспер сия выработки, число	Число квалифици рованных рабочих в выборке, чел., m	Доля квалифи цирован ных рабочих,
до 5 лет (включительно)	400	40	25	81	32	0,8
свыше 5 лет	600	60	30	64	54	0,9
ИТОГО:	1000	100

Определим: 1) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки и гарницы, в которых будут находиться среднедневная выработка всех рабочих завода; 2) с той же вероятностью пределы удельного веса квалифицированных рабочих в общей численности рабочих завода.

Решение:

1. Средняя ошибка типической выборки определяется по формуле:

Определим среднюю ошибку выборки при бесповторном отборе:

Техника расчета предельной ошибки при типической выборке аналогична расчету предельной ошибки при случайном отборе:

Подставив данные, получим:

Для определения возможных пределов среднедневной выработки всех рабочих завода первоначально нужно исчислить среднедневную выработку в выборочной совокупности по средней арифметической взвешенной:

Пределы среднедневной выработки всех рабочих завода:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднедневная выработка всех рабочих завода находится в пределах 26,4 шт≼ ≼29,6 шт.

2. Средняя ошибка репрезентативности для доли исчисляется по формуле:

где – дисперсия доли ( ) является средней из внутригрупповых дисперсий.

Эта величина исчисляется по формуле:

Технику расчета покажем в таблице:

Группы рабочих со стажем работы	Числен ность рабочих, чел., ni	Доля квалифицирован ных рабочих,	Доля мало квали фициро ванных рабочих	Дисперсия доли,	Взвешенный показатель дисперсии,
до 5 лет (включительно)	40	0,8	0,2	0,16	6,4
свыше 5 лет	60	0,9	0,1	0,09	5,4
ИТОГО:	100				11,8

Тогда

Определим среднюю ошибку репрезентативности для доли:

Исчислим предельную ошибку выборочной доли с вероятностью 0,954:

∆_ω=± 2·0,032=±0,064, или 6,4%.

Расчет предела при установлении доли в общем виде представляется следующим образом:

р=

Определим среднюю долю выборочной совокупности:

Отсюда: р=86%±6,4%.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля квалифицированных рабочих на заводе будет находиться в пределах 79,6%≼р≼92,4%.

При определении необходимого объема типической выборки учитывается средняя из внутригрупповых дисперсий:

– повторный отбор;

– бесповторный отбор.

Полученное значение общего объема выборки необходимо распределить по типическим группам пропорционально их численности.

Серийная выборка. Эта выборка используется в тех случаях, когда единицы изучаемой совокупности объединены в небольшие равновеликие группы или серии. Единицей отбора в этом случае является серия. Серии отбираются с использованием собственно-случайной либо механической выборки, а внутри отобранных серий обследуются все без исключения единицы.

В основе расчета средней серийной выборки лежит межгрупповая дисперсия:

– повторный отбор;

– бесповторный отбор,

где – число отобранных серий;

R – общее число серий.

Межгрупповую дисперсию при равновеликих группах вычисляют следующим образом:

где - средняя i-й серии;

– общая средняя по всей выборочной совокупности.