Пример 1.

Для изучения оснащения заводов основными производственными фондами было проведено 10 % -ное выборочное обследование, в результате которого получены следующие данные о распределении заводов по стоимости основных производственных фондов:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. сомони	до 2	2-4	4-6	свыше 6	Итого
Число заводов	5	12	23	10	50

Требуется определить: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех заводов генеральной совокупности; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб.

Решение:

Предельная ошибка выборки (ошибка репрезентативности) исчисляется по формуле:

∆=±t·µ,

где µ - средняя ошибка репрезентативности;

t – коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке.

Пределы возможной ошибки (∆) определяются с вероятностью. Значение t найдем по таблице интеграла вероятностей.

Для	Соответствует вероятность
t=1	Р=0,683
t=2	Р=0,954
t=3	Р=0,997 и т.д.

Конкретное количественное выражение предельная ошибка принимает после определения средней ошибки выборки. Для нахождения ошибки репрезентативности собственно-случайной и механической выборок имеются следующие формулы:

Повторная выборка при определении:
Среднего размера ошибки признака
Средней ошибки доли признака
Бесповторная выборка при определении:
Среднего размера ошибки признака
Средней ошибки доли признака

1. Для определения границ генеральной средней необходимо исчислить среднюю выборочную ( ) и дисперсию ( ), техника расчета которых приведена в таблице:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. сомони, х	Число заводов, f	Середина интервала, х
до 2	5	1	5	-3,52	12,39	61,95
2,0 - 4,0	12	3	36	-1,52	2,31	27,72
4,0 – 6,0	23	5	115	0,48	0,23	5,29
свыше 6,0	10	7	70	2,48	6,15	61,50
	50		226			156,46

Тогда

Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности в 0,25 млн. сомони при повторном и 0,24 млн. сомони при бесповторном отборе в ту или иную сторону о среднегодовой стоимости основных производственных фондов, приходящейся на один завод в выборочной совокупности. Исчисленные данные показывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0,24) меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0,25).

В нашем примере Р=0,997, следовательно, t=3.

Исчислим предельную ошибку выборочной средней(∆_х):

∆_х=±3µ, т.е. ∆_х=±3·0,25=±0,75 млн. сомони (при повторном отборе); ∆_х=±3·0,24=±0,72 млн. сомони (при бесповторном отборе).

Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной совокупности в общем виде, может быть представлена следующим образом:

Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на один завод генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах:

а) при повторном отборе –

б) при бесповторном отборе -

Эти границы можно гарантировать с вероятностью 0,997.

2. Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично нахождению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следующим образом:

где р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности.

Доля заводов в выборочной совокупности со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. сомони составляет:

Определяем предельную ошибку доли. По условию задачи известно, что N=500; n=50; ω=0,66; Р=0,954; t=2.

Исчислим предельную ошибку доли:

при повторном отборе ;

при бесповторном отборе

Следовательно, с вероятностью 0,954 доля заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. сомони в генеральной совокупности будет находиться в пределах:

р=66%±13,4%, или 52,6% при повторном отборе;

р=66%±12,7%, или 53,3% при бесповторном отборе.

Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторной выборке.