Задания для самостоятельной работы

1. Исследовать на экстремум функции

а) ; б)

2. Убедиться, что функция имеет минимум в точке .

3. Убедиться, что функция при и при имеет минимум.

4. Убедиться, что функция в точке имеет минимум.

5. Найти стационарные точки функции , удовлетворяющие условию , и исследовать их характер.

9. Наибольшее и наименьшее значение функции

Пусть функция непрерывна в некоторой замкнутой области. Тогда в силу второй теоремы Вейерштрасса функция достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения. Это может происходить во внутренней точке , тогда для дифференцируемой функции – стационарная точка, которую находим с помощью необходимых условий экстремума. Если же своего наибольшего (наименьшего) значения функция достигает на границе области, то выражают, например, переменную из уравнения границы, подставляют в и исследуют на экстремум полученную функцию одной переменной. Остаётся подсчитать значение функции во всех полученных точках и выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Заметим, что при этом не надо проводить дополнительные исследования с помощью достаточного условия экстремума.

Пример 1. В области найти наибольшее и наименьшее значение функции .

Решение. Функция непрерывна и дифференцируема на всей плоскости. Заданная область представляет собой прямоугольный треугольник .

1. Приравняем нулю частные производные:

.

Получили единственную стационарную точку , лежащую внутри треугольника. Значит, если функция внутри области имеет экстремум, то это возможно только в точке . Подсчитаем .

2. Исследуем поведение функции на границе области.

а) На стороне : .

Функция непрерывна на промежутке , следовательно, достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Находим стационарную точку этой функции из условия . Значит, если функция внутри промежутка имеет экстремум, то это возможно только при . Значению на стороне соответствует точка . Подсчитаем .

Осталось найти значения функции на концах промежутка : . Это соответствует значениям функции в углах и : .

б) На стороне : .

Находим на промежутке стационарную точку функции из условия . Значению на стороне соответствует точка . Подсчитаем .

Осталось найти значения функции на конце :: . Это соответствует значению функции в углу : .

в) На стороне : .

Находим на стационарную точку: . Значению на стороне соответствует точка . Подсчитаем . Значения функции в углах и уже найдены.

3. Выпишем значения функции в стационарных точках:

, ,

и значения функции в углах:

.

Среди этих значений выбираем наибольшее и наименьшее:

, .☻

Задания для самостоятельной работы

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в круге .

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми .

10. Условный экстремум

Пусть в области задана функция и некоторое дополнительное условие , называемое уравнением связи. Точка называется точкой условного (относительного) максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для любой точки , находящейся в и удовлетворяющей уравнению связи, выполняется неравенство

.

При определении обычного экстремума значение функции в точке сравнивается со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки. А при определении условного экстремума из малой окрестности точки выбираются только те точки, которые лежат на линии , определяемой уравнением связи.

Пример 1. Найти экстремум функции при условии .

Решение. Для решения этой задачи применим прямой метод. Выразим из уравнения связи одну переменную (например, ):

Подставим полученное выражение в заданную функцию:

.

Задача сведена к исследованию на обычный экстремум функции одной переменной .

Решаем уравнение – это точка минимума (так как ). На линии этому значению соответствует точка . Геометрически это значит, что точка , лежащая на параболоиде и проектирующаяся в точку , является самой низкой из всех точек параболоида, лежащих над прямой . ☻

Однако не всегда удается разрешить уравнение связи относительно одной из переменных (тем более что для большего числа переменных имеется система уравнений связи). В этих случаях применяют метод Лагранжа (подробнее о методе неопределенных множителей Лагранжа см. ).