Задания для самостоятельной работы
1.
Найти
и
,
если
1)
; 2)
;
3)
; 4)
5)
; 6)
.
7)
.; 8)
;
2. Вычислить приближенно
1)
;
2)
;
3)
.
4. Дифференцирование сложных функций
Пусть функция
дифференцируема в точке
и
– дифференцируемые функции в точке
.
Тогда сложная функция
также дифференцируема в точке
и её производная вычисляется по правилу
(1)
Для функции
,
зависящей от трёх переменных, формула
(1) принимает вид
(2)
Пример 1.
Найти производную
функции
,
если аргументы
в свою очередь зависят от
:
.
Решение. Первый способ. В соответствии с формулой (1) запишем
.
Подсчитаем
и
.
Значит,
.
Второй способ.
Можно было сразу записать сложную
функцию
,
зависящую от одной переменной:
.
Дифференцируем её:
☻.
Пусть функция
дифференцируема в точке
,
а функции
,
дифференцируемы в точке
.
Тогда сложная функция двух переменных
тоже дифференцируема в точке
и её частные производные определяются
по правилам
(3)
С увеличением количества
промежуточных переменных
в формулах (3) появляются дополнительные
слагаемые. С увеличением количества
внутренних переменных
ниже добавляются соответствующие
производные.
Пример 2.
Найти частные производные
и
функции
,
если
.
Решение.
Задана сложная функция
.
В соответствии с формулами (3) запишем
Подсчитаем производные
Значит,
Можно было сразу
записать сложную функцию, зависящую от
двух переменных
и дифференцировать её. ☻
Пример 3.
Найти
и
функции
.
Решение.
Обозначим промежуточные переменные
.
Подсчитаем частные
производные функции
по формулам (3):
(4)
Переходим к вычислению
вторых производных. Заметим, что функции
и
зависят от тех же промежуточных переменных
:
.
Поэтому они дифференцируются
по тем же правилам, что и заданная функция
,
то есть их частные производные находятся
по формулам (3):
(5)
Дифференцируем производные (4). С учетом полученных соотношений (5) получаем:
.
Здесь принято, что
– дважды дифференцируемая функция и
.
☻
Пример 4.
Найти
и
функции
.
Решение.
Можно, как в предыдущем примере, ввести
обозначения промежуточных переменных.
Но мы просто их пронумеруем:
– первая переменная,
– вторая переменная и обозначим
и
–
частные производные функции
по первой и второй промежуточным
переменным соответственно. В этих
обозначениях соответственно формулам
(3) запишем:
,
.
Продолжаем дифференцирование:
Здесь принято, что
– дважды дифференцируемая функция и
.
☻
Задачи для самостоятельной работы
1. Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
,
где
|
7.
,
где
|
8.
|
9
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
;
;
;
.
,
где
;
;
;
;
;
.
2. Найти
,
если
.
Здесь обозначено
– оператор Лапласа.