Содержание
1 |
Частные производные |
3 |
2 |
Старшие производные |
6 |
3 |
Дифференциал функции |
8 |
4 |
Дифференцирование сложных функций |
11 |
5 |
Дифференцирование неявных функций |
15 |
6 |
Производная по направлению. Градиент |
22 |
7 |
Формула Тейлора для функции двух переменных |
24 |
8 |
Экстремум функции двух переменных |
28 |
9 |
Наибольшее и наименьшее значение функции |
35 |
10 |
Условный экстремум |
37 |
11 |
Замена переменных в дифференциальных выражениях |
38 |
|
Литература |
48 |
1. Частные производные
Пусть в области
задана функция
;
.
Придадим независимым переменным
приращения
соответственно, так чтобы точка
.
Назовём полным
приращением
функции
в точке
разность
,
.
Наряду с полным
приращением функции рассматривают
частные приращения.
Зафиксируем
аргумент
и придадим приращение
аргументу
.
Частное приращение
функции
по переменной
– это разность
.
Если существует предел
,
то он называется частной производной
функции
по переменной
в точке
и обозначается одним из символов
:
Таким образом, при
вычислении частной производной функции
по переменной
у этой функции фиксируют переменную
,
при этом получают функцию только одной
переменной
,
для которой и определяют первую
производную.
Аналогично определяется частное приращение функции по переменной – это разность
.
Если существует предел
,
то он называется частной производной
функции
по переменной
в точке
и обозначается одним из символов
:
При вычислении частных
производных функции трёх и более
переменных
фиксируют все переменные, кроме одной,
и дифференцируют полученную функцию
одной переменной.
Частные производные вычисляются по тем же правилам, что и обыкновенные.
Пример 1. Найти частные производные по всем переменным следующих функций:
а)
,
б)
,
в)
Решение. а) Фиксируем переменную и дифференцируем функцию по переменной :
.
Фиксируем
и дифференцируем функцию
по переменной
:
.
б) Дифференцируем
функцию
по переменной
при фиксированных переменных
и
:
.
Дифференцируем функцию
по переменной
при фиксированных
,
:
.
Наконец, фиксируем , и дифференцируем функцию по :
.
в)
,
,
.
☻
Задания для самостоятельной работы.
1.
Найти частные производные данных функций
по каждой из независимых переменных (
– переменные;
– постоянные):
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5)
|
6)
|
7)
|
8)
|
9)
|
10)
|
11)
|
12)
|
13)
|
14)
|
15)
|
16)
|
17)
|
18)
|
19)
|
20)
|
21)
|
22)
|
23)
|
24)
|
25)
|
26)
|
27)
|
28)
|
29)
|
30)
|
31)
|
32)
|
2. Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных и вычислить их значение в данной точке:
1)
в точке (3,4) 2)
в точке (1,2)
3)
в точке (1,1,1) 4)
в точке (1,2)
5)
в точке (1,0,0) 6)
в точке (1, 1/2)
2. Старшие производные
Так же, как и для одной
переменной, определяем старшие производные
функции
многих
переменных:
;
и т.д.
Такие производные для
функций многих переменных называются
«чистыми». Если же после взятия первой
производной по переменной
мы хотим результат
продифференцировать
по другой переменной, например, по
,
то получим «смешанную» производную
Ясно, что так можно построить старшие производные любого порядка по всем переменным.
Пример 1. Найти частные производные 1-го и 2-го порядка от функции
.
Решение.
Фиксируем
и дифференцируем функцию
по переменной
:
.
Фиксируем и дифференцируем по переменной :
.
Далее находим последовательно
Обращаем внимание на полученный результат:
.
☻
Смешанные производные
и
,
вообще говоря, не равны. Однако справедливо
утверждение, которым обычно пользуются:
Теорема.
Если частные производные функции
существуют в окрестности точки
и непрерывны в точке
,
то вторые смешанные производные не
зависят от порядка вычисления.
Аналогичное утверждение
справедливо и для смешанных производных
-го
порядка.