2. Законы сохранения

Изменение ДО позволяет уменьшить время ожидания высокоприоритетных заявок за счет увеличения времени ожидания низкоприоритетных заявок. Очевидно, что за счет изменения ДО нельзя добиться того, чтобы уменьшилось или увеличилось время ожидания заявок всех классов.

Этот факт сформулирован в виде закона сохранения времени ожидания.

Формулировка закона сохранения времени ожидания. Для любой дисциплины обслуживания (ДО)

(4.13)

то есть сумма произведений загрузок ρ_i на среднее время ожидания w_i (i = 1, H) заявок всех классов инвариантна относительно ДО.

Закон сохранения времени ожидания выполняется при следующих условиях:

• система без потерь – все заявки на обслуживание удовлетворяются;

• система простаивает лишь в том случае, когда в ней нет заявок;

• при наличии прерываний длительность обслуживания прерванных заявок распределена по экспоненциальному закону;

• все поступающие потоки заявок – простейшие, и длительности обслуживания не зависят от интенсивностей потоков заявок.

Значение константы в законе сохранения можно определить следующим образом. Поскольку закон сохранения справедлив для любых ДО, удовлетворяющих перечисленным условиям, то он справедлив и для ДО БП, для которой w_k^БП = w^БП для всех (k = 1,…, H). Отсюда находим значение константы:

Подставив полученное значение константы и формулу (4.9) для расчёта w^БП в закон сохранения, окончательно получим:

(4.14)

Закон сохранения времени ожидания универсален и справедлив для всех ДО, удовлетворяющих указанным условиям. Его можно использовать для оценки достоверности приближенных результатов, полученных при исследовании сложных ДО и проведении имитационного моделирования, а также при решении задач синтеза.

Модификация закона сохранения. Закон сохранения может быть модифицирован применительно ко времени пребывания заявок в системе с учетом того, что w_i = u_i −b_i. Подставив это выражение в закон сохранения времени ожидания (4.14) после некоторых преобразований, получим закон сохранения времени пребывания:

(4.15)

Заметим, что изменение ДО приводит только к изменению времени ожидания и времени пребывания, а остальные величины, входящие в выражения (4.14) и (4.15), не изменяются.

Рассмотрим случай, когда средние длительности обслуживания заявок разных классов одинаковы: b_i = b = const для всех i =1,H . Тогда выражение (4.14) может быть преобразовано следующим образом:

откуда получим новую формулировку закона сохранения в виде закона сохранения суммарной длины очереди заявок:

Таким образом, если средние длительности обслуживания заявок разных классов одинаковы, то изменение ДО не приводит к изменению суммарной длины L очередей заявок всех классов, которая остается постоянной. В то же время длины очередей l_i (i =1,H) заявок каждого класса меняются с изменением ДО.

ВЫВОД

Закон сохранения времени ожидания универсален и справедлив для всех ДО, удовлетворяющих указанным условиям. Его можно использовать для оценки достоверности приближенных результатов, полученных при исследовании сложных ДО и проведении имитационного моделирования, а также при решении задач синтеза.

Многоканальные системы массового обслуживания

принципы построения многоканальных СМО

Многоканальные СМО с однородным потоком заявок

В многоканальных СМО обычно предполагается, что все приборы идентичны и равнодоступны для любой заявки, то есть при наличии нескольких свободных приборов поступившая заявка с равной вероятностью может попасть в любой из них на обслуживание.

Многоканальные (рис.В), содержащие K обслуживающих приборов П1,...,ПK ( K > 1). Однородный поток заявок образуют заявки одного класса.

В СМО, представляющей собой абстрактную математическую модель, заявки относятся к разным классам в том случае, если они в моделируемой реальной системе различаются хотя бы одним из следующих факторов:

длительностью обслуживания;

приоритетами.

Если же заявки не различаются длительностью обслуживания и приоритетами, то в СМО они могут быть представлены как заявки одного класса, независимо от их физической сущности.

Р ассмотрим многоканальную СМО с K идентичными обслуживающими приборами и накопителем неограниченной ёмкости, в которую поступают заявки, образующие простейший поток с интенсивностью λ (рис.4.3). Длительность τ_b обслуживания заявок распределена по экспоненциальному закону со средним значением b. Выбор заявок из очереди на обслуживание осуществляется в соответствии с бесприоритетной дисциплиной обслуживания в порядке поступления (ОПП) по правилу «первым пришёл – первым обслужен» (FIFO – First In First Out).

ВЫВОД

Выбор заявок из очереди на обслуживание осуществляется по правилу FIFO – First In First Out, обычно предполагается, что все приборы идентичны и равнодоступны для любой заявки.