Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тригонометрия.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

6.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

§ 2. Основные теоремы тригонометрии

2.1. Теорема синусов

Рис. 2. 1

В плоском треугольнике со сторонами и углом , противолежащим стороне (рис. 2.1), квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними, т. е. справедливо равенство

Доказательство. Рассмотрим . Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD. Треугольник ADC является прямоугольным, поэтому величину стороны AD можно вычислить из соотношения тригонометрических функций :

. (а)

Длину стороны BD вычислим как разность AB и AD:

. (б)

Вычислим по теореме Пифагора высоту .

Имеем

Откуда

Подставим в последнее выражение вычисленные значения (а) и (б), получим

Раскроим скобки ,

и приведем подобные члены, получим

. (1)

Теорема доказана.

Рис. 2. 2
ример 2.1. В треугольнике вычислить величину стороны

, если

, угол между сторонами равен (рис. 2.2).

Решение. По теореме косинусов

Здесь по теореме приведения

Полезно эту задачу решить геометрически, т.е. построить заданный треугольник в масштабе и измерить сторону . Полученные результаты сравнить.

Рис. 2. 3
ример 2.2. Вычислить площадь треугольника со сторонами

;

(рис. 2.3).

Решение. Опустим из вершины на основание высоту . Площадь треугольника будет равна

По теореме косинусов

или

Отсюда имеем:

;

; .

Теорема синусов
Рассмотрим , описанный вокруг треугольника окружности радиуса ; a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ – величины противолежащих этим сторонам углов (рис. 2.4).

Т

Рис. 2. 4
еорема. Стороны треугольника ABC пропорциональны синусам противолежащих углов:

, где R – радиус описанной вокруг треугольника окружности; a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ – величины противолежащих этим сторонам углов.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник, вписанный в окружность, обозначим его как ABC (рис. 2.4). Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R, например, .

Рис. 2. 5

роведем диаметр BD для описанной окружности (рис. 2.5). Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность). Рассмотрим случай, когда точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC. Из геометрии известно, что углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Тогда угол

равен углу

Из .

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

. Теорема доказана.

Если точки A и D лежат по разные стороны от прямой BC (рис. 2.5), то угол CDB равен углу . Поскольку , то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату.

Теорема сложения для косинуса. При произвольных значениях и имеют место теоремы сложения:

;

Рис. 2. 6

Доказательство. Пусть точки и – точки единичной окружности (рис. 2.6). Запишем координаты точек и :

Вычислим квадрат расстояния между точками и

(1)

Рассмотрим разность дуг и – это  , измеряющаяся числом . Отложим  от начальной точки . Пусть – конец отложенной, т.е. дуги  = . Хорды и , соединяющие концы равных дуг  и  , равны между собой, т. е. = .