3. Регулярные сигналы. Теорема Котельникова.

Сигнал называется регулярным, если его математическим представлением является заданная функция времени. Реальный сигнал рассматривается как случайный процесс, определяемый вероятностными характеристиками, так как нельзя заранее предвидеть его изменение во времени.

ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА

Основополагающей теоремой теории дискретного регулярного представления по выборкам является теорема Котельникова. В соответствии с этой теоремой возможно со сколь угодно высокой точностью восстановить любой непрерывный детерминированный или случайный процесс (сигнал) s(t) по его дискретным регулярным выборкам при следующих условиях:

1. Процесс имеет ограниченный спектр (например, от 0 доF_c (частоты среза – наибольшей частоты в спектре процесса));

2. Процесс наблюдается бесконечное время (Т→∞);

3. Выборки сообщения формируются с частотой дискретизации f_д ≥ 2f_c;

4. Восстановление процесса ведется по точным (незашумленным) значениям выборок в форме ряда Котельникова

 ,

где t_k = kDt – момент взятия отсчета.

Особенностью ряда является то, что в моменты t_k значения ряда определяются только k-ым членом разложения, т.к. все другие члены ряда в этот момент обращаются в нуль:

 при   .

Такая функция (вида   ) называется функцией отсчетов.

При передаче непрерывных сообщений импульсными методами всегда встает вопрос не только о дискретном представлении таких сообщений на передающей стороне выборками, но и об его восстановлении на приемной стороне по переданным дискретным значениям (выборкам). Этот процесс восстановления называют интерполяцией.

Графически процесс восстановления сигнала по отсчетам и соответствующим им функциям отсчетов приведен на рис. 27.

Рис. 23

 

Видно, что при восстановлении используются как правые, так и левые ветви функции отсчетов. Практическая реализация приемника, восстанавливающая непрерывный сигнал, возможна, если в нем с приходом каждого нового импульса-отсчета генерировать соответствующую функцию. Функция вида  представляет собой импульсную реакцию идеального фильтра низких частот. Поэтому в качестве приемника можно использовать ФНЧ.

На рис. 24 показаны графики функции отсчетов, передаточные функции и импульсные реакции идеального (1) и реального (2) ФНЧ.

Отсутствие левых ветвей на графиках импульсной реакции объясняется невозможностью получения отклика раньше воздействия. При восстановлении происходит задержка сигнала на Dt.

Таким образом, если в приемнике поместить ФНЧ и пропустить через него последовательность с частотой 2f_с коротких импульсов, амплитуды которых пропорциональны отсчетам непрерывного сигнала, то в ФНЧ будут суммироваться отклики и будет воспроизведен исходный сигнал.

 

Рис. 24

 

Следует отметить, что теорема Котельникова дает лишь предельные (потенциальные) соотношения для определенных идеализированных условий, основными из которых являются ограниченность спектра и бесконечное время наблюдения. К этим предельным соотношениям можно лишь стремиться, никогда их не достигая.

При воспроизведении непрерывного сигнала из дискретного возможны ошибки за счет следующих причин:

1. Время сигнала Т конечно, следовательно, его спектр бесконечен, поэтому его ограничивают диапазоном 0...f_с, где сосредоточена основная часть энергии сигнала. Относительная погрешность e(t) при этом будет пропорциональна отсеченной части энергии:   ;

2. Число членов ряда конечно, и бесконечный ряд Котельникова заменяется приближенным:

 ;

3. Отклик реального ФНЧ отличается от кривой вида   .

Абсолютная погрешность восстановления |d(t)| на отрезке существования сигнала неравномерна: в моменты t_k она близка к нулю, нарастает к середине интервала между отсчетами и увеличивается к краям дискретизируемого отрезка, где отсекаются ветви функции отсчетов. На рис. 25 показан вид восстановленного сигнала с неограниченным спектром и график абсолютной погрешности |d(t)|:

Рис.25

 

При передаче отсчетами случайных сигналов интервал дискретизации можно определять через интервал корреляции Dt :

Dt < Dt ; T >> Dt. ( критерий Железнова).