Розділ 6. Похідна і диференціал функції однієї змінної

Як відомо, багато найрізноманітніших задач з фізики та інших природничих наук описується функціональними моделями вигляду . Перебіг того чи іншого процесу можна дослідити шляхом вивчення властивостей функції . Зокрема, відповідь на таке важливе питання, як швидкість перебігу процесу в даний момент, можна дістати за допомогою похідної даної функції.

§ 6.1. Похідна функції в точці Нехай функція визначена в деякому околі точки .

Означення 1. Похідною функції у точці називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля. Якщо існує границя відношення , то її позначають через: , , або . Таким чином, математично похідна в точці визначається за формулою:

. (1)

Означення 2. Операцію знаходження похідної функції називають диференціюванням цієї функції. Функцію , яка має похідну в точці x, називають диференційованою в точці . Якщо функція має похідну в кожній точці деякого проміжку, то вона називається диференційованою на цьому проміжку.

Приклад 1. Користуючись означенням похідної, знайти похідну функції в довільній точці х. Як відомо, задана функція неперервна в кожній точці інтервалу визначення .

Розв’язування. Утворимо відношення приростів

.

Переходячи до границі, знайдемо похідну даної функції

. Отже . Якщо, наприклад, взяти , то похідна буде мати таке значення .

§ 6.2. Деякі задачі, що приводять до поняття похідної

1. Механічний зміст похідної . Задача про швидкість руху

Нехай тіло рухається прямолінійно вздовж деякої осі із швидкістю . Починаючи з деякого часу , за час тіло пройде шлях . Тоді середня швидкість руху тіла буде .

Коли проміжок часу зменшується, тоді наближається до швидкості руху в момент , що відповідає початку проміжку .

Означення 3. Миттєвою швидкістю (або швидкістю в момент часу ) називають границю відношення приросту шляху до приросту часу , коли , тобто

. (2)

Таким чином, механічний зміст похідної: похідна є величиною миттєвої швидкості тіла в момент часу , що рухається за законом .

Приклад. Нехай руху матеріальної точки задається рівнянням ( , м.; , с.) . Знайти швидкість руху в момент часу с.

Розв’язування. За формулою (2) одержуємо:

; .

2. Геометричний зміст похідної. Задача про дотичну

Нехай задана функція . Графіком цієї функції на площині буде деяка крива лінія.

Означення 4. Дотичною до кривої в точці (точки дотику) називають граничне положення січної , при умові, що точка , рухаючись вздовж кривої, необмежено наближається до точки дотику (рис. 1).

Рис. 1

Нехай функцію задано рівнянням

і в точці графік функції має дотичну, не перпен­дикулярну до осі Ох. Надамо приросту . Тоді

.

З трикутника M₀MN знаходимо

.

Якщо , то і тому . А отже, кутовий коефіцієнт дотичної

. (3)

Оскільки дотична до кривої проходить через точку у напрямі, що визначається кутовим коефіцієнтом , то рівняння дотичної можна записати у вигляді

або . (4)

Таким чином, геометричний зміст похідної: похідна дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою , тобто .

Приклад. Знайти рівняння дотичної до графіка функції в точці .

Розв’язування. Маємо: , , , тоді за формулою (4) одержимо:

;

.