10. Системы эконометрических уравнений, методы их оценивания

Для описания реальных экономических систем, где статистические показатели находятся во взаимодействии и взаимосвязи, применяются системы эконометрических уравнений.

В данных системах случайные переменные называют эндогенными, т.е. внутренними, так как они формируют свои значения внутри модели. Признаки, считающиеся заданными, известными, неслучайными получили название экзогенных, или внешних для данной системы. Один и тот же признак может быть эндогенным в одной задаче и экзогенным – в другой.

Структурная форма модели:

Структурная форма модели содержит при эндогенных переменных коэффициенты , экзогенных переменных – , которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня:

,

поэтому свободные члены в системе отсутствуют.

Приведенная форма модели:

Алгоритм косвенного метода наименьших квадратов:

1. привести систему к виду, чтобы в правой части оставались только экзогенные переменные. Такая форма называется приведенной;

2. затем применить метод наименьших квадратов к каждому уравнению в приведенной форме и получить оценки ее параметров;

3. перейти от приведенной формы к структурной, проведя процедуру обратного преобразования параметров.

Эта методика позволяет получать состоятельные и несмещенные оценки параметров структурной форму системы одновременных уравнений.

При переходе от приведенной к структурной форме возникает проблема идентификации, то есть однозначности определения параметров структурной модели от приведенной формы. Переход необходим, поскольку экономический смысл и интерпретацию имеют только параметры структурной формы.

Условия идентифицируемости проверяются для каждого уравнения в отдельности.

Счетное (необходимое) условие идентифицируемости:

Чтобы уравнение было идентифицируемым, нужно, чтобы:

1+n_x=n_y,

где n_x – число экзогенных переменных, содержащихся в системе, но отсутствующих в данном уравнении системы;

n_y – число эндогенных переменных в данном уравнении.

Если 1+n_x<n_y, уравнение неидентифицируемо;

1+n_x>n_y, то уравнение сверхидентифицируемо.

Ранговое условие идентифицируемости (достаточное):

Для разрешимости системы структурных уравнений достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из коэффициентов эндогенных и экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других уравнениях системы, был не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного, а определитель этой же матрицы не был равен нулю.

Наиболее широко системы одновременных уравнений применяются для моделирования макроэкономики. Большинство из них построено на основе кейнсианских моделей. Статическая модель Кейнса для описания народного хозяйства страны в наиболее простом варианте имеет следующий вид (в современных показателях системы национального счетоводства России):

где С – конечное потребление в постоянных ценах;

у – валовой располагаемый национальный доход (ВРНД) в постоянных ценах;

– случайная составляющая;

I – валовые инвестиции в постоянных ценах (валовое сбережение).

Второе уравнение является тождеством, поэтому структурный коэффициент b не может быть больше 1. Он характеризует предельную склонность к потреблению.

Система приведенных уравнений:

Приведенная форма модели содержит мультипликаторы:

- инвестиционный мультипликатор потребления:

;

- инвестиционный мультипликатор национального дохода:

.

Мультипликаторы интерпретируются как коэффициенты линейной регрессии, т.е. они показывают, на сколько единиц изменится эндогенная переменная, если экзогенная переменная изменится на единицу.

Двухшаговый метод наименьших квадратов является универсальным, позволяет решать как точно идентифицируемые, так и сверхидентифицируемые системы структурных уравнений. Значимость этого метода определяется тем, что он позволяет решать сверхидентифицируемые системы, оценить которые косвенным методом нельзя.

Сверхидентифицируемые системы бывают двух типов:

• все уравнения системы сверхидентифицируемы;

• система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Для второго типа в отношении идентифицируемых уравнений может применяться косвенный метод наименьших квадратов, для сверхидентифицируемых уравнений и систем, где все уравнения сверхидентифицируемы, следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов.

Двухшаговый метод наименьших квадратов реализуется в следующей последовательности:

1. сначала, так же, как и при косвенном методе нужно привести систему к приведенной форме;

2. затем применить метод наименьших квадратов к каждому уравнению в приведенной форме и получить оценки ее параметров;

3. находят расчетные значения эндогенных переменных, подставляя значения экзогенных переменных в соответствующие приведенные уравнения по всем единицам совокупности.

4. подставляют в структурную форму фактические значения экзогенных переменных и тех эндогенных переменных, которые находятся в левой части, и расчетные значения эндогенных переменных, находящихся в правой части системы, а затем применяют метод наименьших квадратов. Замена фактических значений эндогенных переменных, находящихся в правой части системы, решает проблему их коррелированности с ошибками регрессии.

Динамическая модель Кейнса:

(7.2.39)

где – валовой располагаемый национальный доход;

– конечное потребление домашних хозяйств;

– валовой национальный доход;

– (ВРНД) предыдущего года t;

– конечное потребление государственных учреждений;

– валовое накопление основного капитала;

– изменение запасов материальных оборотных средств и чистое приобретение ценностей;

– сальдо платежного баланса (чистые трансферты, полученные от «остального мира»).

Параметр а отражает влияние других, не учтенных факторов потребления. Первое уравнение является сверхидентифициуемым, второе и третье – тождествами.

Динамические модели обязательно содержат в правой части лаговые переменные. А также возможен учет тенденции, т.е. в модель может быть включен фактор времени. Например, модель Клейна в упрощенном варианте рассматривается как коньюктурная модель:

(7.2.40)

где – конечное потребление домашних хозяйств;

– оплата труда наемных работников;

– валовая прибыль и валовые смешанные доходы;

– валовая прибыль и валовые смешанные доходы в предыдущий период;

– ВРНД;

– ВРНД в предыдущий период;

t – время;

– чистые трансферты и чистые доходы от собственности;

– валовые инвестиции в постоянных ценах (валовое сбережение);

– конечное потребление государственных учреждений.

Модель содержит пять эндогенных переменных, расположенных в левой части: – , , , и , определяемую по первому тождеству; три экзогенные переменные – , , t и две предопределенных, лаговых переменных – и . Как и большинство моделей такого типа, данная модель сверхидентифицируема и решается двухшаговым методом наименьших квадратов. Для интерпретации параметров и прогнозных целей используется, как и в модели Кейнса, приведенная форма модели:

(7.2.41)

Коэффициенты этой системы переменных при обычных переменных и являются мультипликаторами. Коэффициенты – мультипликаторы чистых трансфертов ( ) относительно конечного потребления домашних хозяйств ( ), валового сбережения ( ), оплаты труда ( ), ВРНД ( ) и валовой прибыли и валовых смешанных доходов ( ). А коэффициенты являются мультипликаторами соответствующих эндогенных переменных.

Для оценки надежности параметров структурной формы может применяться дисперсионный анализ. Проверку значимости целесообразно проводить еще на стадии получения системы приведенных уравнений. Продолжать реализацию косвенного и двухшагового методов следует лишь в случае получения значимых приведенных уравнений.