Глава 3. Дополнительные вопросы.

Занятие 13. Системы точек и отрезков.

№34. Условие: сторона AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC продолжена на расстояние, равное катету, и отмечен конец полученного отрезка D. На отрезке BD построен равнобедренный треугольник с основанием BD и углом DEB, равным 135 градусам, причём точка E лежит в той же полуплоскости относительно прямой AD, что и точка C.

Построить на отрезках BC и BE два равнобедренных треугольника так, чтобы треугольник, имеющий с каждым из них по одной общей стороне, был также равнобедренным.

№35 . Условие: нарисуйте в квадрате пять отрезков, проходящих через его центр так, чтобы из получившихся частей можно было составить ровно 5 невыпуклых многоугольников. Рассмотрите все возможные случаи!

Занятие 14. Перекройка фигур.

№36. Условие: перекроить равносторонний треугольник: а)в равнобедренную трапецию с острым углом 60 градусов. б)в равнобедренную трапецию с острым углом 30 градусов.

№37. Перекроить данный прямоугольник в паралеллограмм и два равнобедренных треугольника.

Занятие 15. Разрезания, склеивания и выкройка.

№38. Условие: равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, равным 2, и высотой BD, равной 3. Получите из него три равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами, равными 1, путём вырезания и склеивания, использовав наименьшее количество операций.

Занятие 16. Замощение многоугольниками и частями многоугольников.

№39. Всегда ли можно замостить некоторый правильный многоугольник с n сторонами частями правильного многоугольника с k сторонами? Если нет, то каковы могут быть n и k?

№40. Верно ли, что если данными многоугольниками нельзя замостить плоскость, всегда можно раздели ть их на две части, при выборе одной из которых из каждого многоугольника мы сможем замостить плоскость?

Решения.

Занятие 1. №1. Указание. Подумайте, как можно удвоить отрезок с концами в узлах клетчатой бумаги.

№2. http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/

№3.Указание. Возьмите любой равносторонний многоугольник с числом сторон больше 4 с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Рассмотрите апофемы равнобедренных треугольников, образованных тремя подряд идущими сторонами, доказав, что они не равны.

Занятие 2. №4. Ответ: данным пятиугольником будет пятиугольник ABCDE с координатами точек: A(0;0), B(0;2), C(5:2), D(5:-4), E(2:0).

№5. Ответ: нет.

№6. Указание: римените пифагоровы тройки.

№7. 16D(m,n), где D(m,n)—наибольший общий делитель.

№8. Указание: сначала докажите, что точками можно покрыть полосу, затем примените параллельный перенос, затем «закрасьте плоскоксть другими полосами, которые могут быть получены путём симметрии относительно другой, чем в начале, прямой.

№9. Указание: ECBGFDA длиной 20.

№10. Указание: в ломаной участвуют отрезки длиной 2 и 5, а ломаная линия—28.

№11. Рассмотрите разности между длинами звеньев и найдите, какие из них равны.