Глава 2. Разрезание фигур.

Занятие 6. Свойства разрезаемых фигур.

№12. Некоторый пятиугольник можно разрезать на вписанный четырёхугольник и трапецию. Доказать, что в нём найдутся три угла, сумма которых равна 360 градусам.

№13. Докажите, что любой многоугольник, который можно разрезать более чем на две прямоугольные трапеции, имеет по крайней мере два угла, кратные 90.

Занятие 7. Разрезание фигуры с дополнительными условиями.

№17. Условие: на всех сторонах квадрата построены равносторонние треуёгольники во внешнюю сторону. Разрезать такую звезду ровно на 16 треугольников с углом 15 градусов (хотя бы одним) да так, чтобы прямые, проходящие через линии разреза, пересекались бы в наименьшем числе точек (прохождение через вершину данной фигуры тоже считается).

№18. Условие: трапеция ABCD с основаниями BC и AD, у которой AB=BC=CD.

Разрезать такую трапецию на 7 частей, из которых можно было бы составить три прямоугольника, ни один из которых не имеет строну длиной, равной высоте трапеции ABCD, проведённой к основанию. Для всех ли таких трапеций данное задание выполнимо? Если нет, то в каких случаях?

№19. Условие: существует ли трапеция, у которой один угол между одной её высотой, проведённой к основанию трапеции, и одной боковой стороной в два раза меньше угла между другой высотой, проведённой к основанию трапеции, и другой боковой стороной и которую можно разрезать на пять подобных прямоугольных треугольников? (существует)

№20. Разрежьте прямоугольную трапецию на 4 прямоугольных треугольника, не проводя разрез по диагонали (будем считать, что такая трапеция существует).

Занятие 8. Разрезание фигур с особыми названиями.

№21. Условие: в прямоугольной системе Декартовых координат дано семь точек: A(0;0); B(0;2); C (1;4); D (3;5); E(5;4); F(6;2); G(6;0). Назовём семиугольник ABCDEFG «холмом». Требуется разрезать его на 8 частей, чтобы из них можно было составить четыре квадрата с площадями 9,9,5,1.

№22. Условие: в этой же системе координат даны 5 точек: A(0;0); B(0;4); C(2;4); D(4;0); E(2;-1). Назовём пятиугольник ABCDE «айсбергом». Требуется разрезать его на 7 частей, чтобы из них можно было составить три квадрата.

№23. Условие: в этой же системе координат даны 7 точек: A(0;0); B(0;2); С(1;4); D(2;7); E(3;4); F(4;2); G(4;0). Назовём семиугольник ABCDEFG «башней». Разрезать его на 9 частей и составить из них 6 равнобедренных треугольников.

Занятие 9. Использование параллельности сторон разрезаемых фигур.

№24. Дан пятиугольник ABCDE с равными и параллельными сторонами AB и DE. Разрезать его на 5 частей, чтобы из них можно было составить три параллелограмма.

№25. Условие: разрезать прямоугольник на 15 частей, чтобы из них можно было составить ровно 6 ромбов.

№26. Разрежьте ромб с углом 60 градусов на три ромба и две равнобедренные трапеции.

Занятие 10. Обязательность наличия частного случая среди фигур, на которые разрезают данную фигуру. №27. Квадрат разрезали на равнобедренные трапеции. Обязательно ли одна из них является прямоугольником? №28. Можно ли разрезать правильный шестиугольник на параллелограммы, не являющиеся ромбами?

Занятие 11. Наличие равных элементов среди частей, на которые разрезают фигуру.

№29. Разрезать данную прямоугольную трапецию на прямоугольник, вписанный четырёхугольник только с двумя прямыми углами и два треугольника, из которых можно составить один треугольник совмещением их сторон.

№30. Разрезать прямоугольник со сторонами 3 и 4 на два множества треугольников , у которых есть хотя бы один равный угол—свой для каждого из множеств.

№31. Всякий ли прямоугольник можно разрезать на описанный четырёхугольник и два равных треугольника?

Занятие 12. Наличие любого числа фигур двух классов среди фигур, на которые разрезают данную фигуру.

№32. Доказать, что вписанный четырёхугольник всегда можно разрезать на любое число p трапеций и любое число q вписанных четырёхугольников только в том случае, когда все получаемые четырёхугольники будут подобны друг другу.

№33. Найти прямоугольник, который можно разрезать на четыре равные прямоугольные трапеции и треугольник