Глава 1. Геометрия на клетчатой бумаге.
Занятие 1. Фигуры на клетчатой бумаге. Теоремы.
Занятие 2. Фигуры на клетчатой бумаге. Задачи.
Занятие 3. Геометрические преобразования на клетчатой бумаге.
Занятие 4. Маршруты на клетчатой бумаге.
Глава 2. Разрезание фигур.
Занятие 5. Свойства разрезаемых фигур.
Занятие 6. Разрезание фигуры с дополнительными условиями.
Занятие 7. Разрезание фигур с особыми названиями и техника создания задач по этой теме.
Занятие 8. Использование параллельности сторон разрезаемых фигур.
Занятие 9. Обязательность наличия частного случая среди фигур, на которые разрезают данную фигуру. Занятие 10. Наличие равных элементов среди частей, на которые разрезают фигуру.
Занятие 11. Существование любого числа фигур двух классов среди фигур, на которые разрезают данную фигуру.
Глава 3. Некоторые дополнительные темы.
Занятие 12. Системы точек и отрезков.
Занятие 13. Перекройка фигур; разрезание, склеивание и выкройка.
Занятие 14. Замощение плоскости многоугольниками и частями многоугольников.
Глава 1. Геометрия на клетчатой бумаге.
Занятие 1. Фигуры на клетчатой бумаге. Теоремы. №1. Теорема (с). Докажите, что если на клетчатой бумаге нарисована трапеция с вершинами в узлах и середины её боковых сторон, середины диагоналей также расположены в узлах, то и середины оснований трапеции расположены в узлах.
№2. Теорема (Г. А. Пик, 1899). Площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки равна Ni + 1/2Ne − 1. N_i—число узлов сетки внутри прямоугольника, N_e—на границе.
№3. Теорема. Если n ≠ 4, то не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах сетки.
Занятие 2. Фигуры на клетчатой бумаге. Задачи.
№4 . Нарисуйте на клетчатой бумаге пятиугольник с вершинами в узлах и сторонами с длинами 2,2,5,5,6. №5. Существует ли полуправильный многоугольник с вершинам в узлах клетчатой бумаги, в котором существуют две точки, равноудалённых от половины вершин (взятых через одну) на расстояние, равное стороне многоугольника так, чтобы и расстояние между этими точками было такое же?
№6. Сколько максимально может существовать дельтоидов, имеющих две вершины, удалённые друг от друга на расстояние 5 и все вершины в узлах решётки?
Занятие 3. Геометрические преобразования на клетчатой бумаге. №7. Дан отрезок на клетчатой бумаге с вершинами в узлах с координатами (0;0) и (m,n) в прямоугольной декартовой системе координат. Сколько существует поворотов на угол, меньший 360 градусов с центрами в точке на отрезке, переводящих его в отрезок, соединяющий узлы? №8. На клеточной бумаге расположены две точки в узлах. Их можно переносить параллельным переносом, так чтобы вектор их переноса образовывал угол в 45 градусов с отрезком, соедниющим точки, и отражать относительно прямых, соединяющих всевозможные точки диагоналей квадратов, которые образуют узлы клеточной бумаги. Докажите, что таким образом можно получить любую точку в узле.
Занятие 4. Маршруты на клетчатой бумаге.
№9. Дан 7-угольник ABCDEFG на клетчатой бумаге, вершины которого имеют коордтнаты: A(0:0), B(-2;1), C(-3;3), D(-1;6), E(1;6), F(3;3), G(2;1). Обойти его вершины ломаной линией, вершины звеньев которой лежат только в узлах, а длина—27 (обходить без повторов!).
№10. Дан пятиугольник ABCDE на клетчатой бумаге, вершины которого имеют координаты: A(0;0);B(0;3);C(3;6);D(6;3);E(6;0). Требуется пройти из вершины D в вершину B, так, чтобы звенья пути имели концы только в узлах сетки, и весь путь состоял из двух множеств равных отрезков.
№11. Пусть по линиям, составляющим решётку клетчатой бумаге» от узла к узлу проводится ломаная линия, у которой звеньев 4, и два первых звена имеют длину k, два других—k-1, ...и т.д. до k-3. Докажите, что всегда можно построить именно такую ломаную линию, чтобы она была замкнутой.