3 Передаточные функции динамических звеньев

Для создания общий методики расчёта различных САР в ТАУ введено понятие типового динамического звена.

Под типовым динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного исполнения, описываемое определённым типом дифференциального уравнения.

Для анализа работы заданной САР необходимо получить для каждого звена передаточной функции.

3.1 Передаточная функция элемента сравнения Я

В Рассматриваемом примере в качестве элемента сравнения используется схема вычитания двух звеньев.

Чаще всего при расчётах систем автоматической стабилизации, считается, что элемент сравнения идеален, т.е. не вносит погрешность в процесс регулирования и не имеет передаточной функции.

3.2 Передаточная функция пассивного индуктивного звена

Представив пассивное индуктивное звено в виде делителя напряжения, получим его передаточную функцию.

где z₂(p) = R₂ – полное сопротивление выходного элемента; z₁(p) = pL + R₁ полное сопротивление первого элемента, здесь pL – операторная форма записи полного сопротивления на индуктивности L.

Подставим z₁(p) и z₂(p) и разделим слагаемые в числителе и знаменателе выражения передаточной функции на (R₁ + R₂), получим:

Введем коэффициент передачи k_инз = R₂ / (R₁ + R₂) и постоянную времени Т_инз = L / (R₁ + R₂). В итоге получим передаточную функцию пассивного индуктивного звена, как апериодического звена первого порядка:

3.3Передаточная функция электронного усилителя

Запись уравнения, описывающие работу электронного усилителя, можно только при наличие его подробной принципиальной схемой. В рамках курсового проекта электронный усилитель рассматривается как «чёрный ящик» без учёта его внутренней структуры. В результате получаем простейшее уравнение для описания его работы.

Передаточная функция звена для электронного усилителя будет иметь вид:

3.4Передаточная функция генератора постоянного тока независимого возбуждения

Генератор постоянного тока независимого возбуждения можно представить, как в виде одного типового динамического звена, так и в виде двух звеньев, включенных последовательно. Рассмотрим генератор в виде двух типовых динамических звеньев.

3.4.1 Обмотка возбуждения.

Дифференциальное уравнение для цепи возбуждения генератора имеет вид:

где L_в – индуктивность обмотки возбуждения; I_в – ток в обмотке возбуждения (выходная величина); R_в – активное сопротивление обмотки возбуждения; U_вх – напряжение на обмотке возбуждения (входная величина).

Разделим уравнение на произведение R_вI_в, в результате получим:

Выполним сокращения и перейдем к операторной форме записи:

Умножим обе части выражения на I_в и приведем уравнение к стандартному виду:

где T_ов – постоянная времени цепи возбуждения генератора постоянного тока, T_ов = (L_в / R_в); k_ов – коэффициент передачи обмотки возбуждения генератора, k_ов = (1 / R_в).

Передаточная функция обмотки возбуждения, как апериодического звена первого порядка, имеет вид:

3.4.2 Якорь генератора

Якорь генератора - безынерционное звено. Данный вариант передаточной функции соответствует исходным данным на курсовой проект, когда постоянная времени T_г для цепи якоря равна нулю.

Если из анализа работы САР известно, что ток возбуждения и напряжение на якоре в процессе работы мало отклоняются от начальных условий, то можно воспользоваться методом графической линеаризации.

Таким образом, имеем линеаризованное уравнение:

В рамках курсового проекта будем считать, что ток возбуждения I_в и магнитный поток Ф, в рабочей области, связаны линейной зависимостью и их коэффициент пропорциональности учтен в значении k_г.

Передаточная функция якоря генератора как безынерционного звена будет иметь вид:

3.5 Передаточная функция двигатель постоянного тока независимого возбуждения

Первое уравнение может быть получено на основании записи второго закона Кирхгофа для цепи якоря:

где L_я – индуктивность обмотки якоря; I_я – ток в обмотке якоря; R_я – активное сопротивление обмотки якоря; n – обороты вала двигателя (выходная величина); U_вх – напряжение на обмотке якоря (входная величина); К₁ – ФС_е.

Второе уравнение запишем на основании закона равновесия моментов на валу якоря, оно имеет вид:

где К₂– ФС_м; J – приведенный момент инерции вала двигателя; M – момент сопротивления на валу якоря.

Для приращений переменных параметров с учетом малых отклонений можно записать следующую систему уравнений:

Подставляем выражение в первое уравнение системы и переходим к операторной форме записи, в результате чего получим:

Разделим обе части уравнения на К₁ и перегруппируем слагаемые:

Вводим новые обозначения и переходим к стандартной форме записи дифференциального уравнения:

где T_я – постоянная времени цепи якоря (T_я = L_я / r_я); T_м – электромеханическая постоянная времени двигателя (T_м = J r_я / (К₁ К₂)); k_д – коэффициент передачи двигателя (k_д = 1 / К₁).

Передаточная функция двигателя независимого возбуждения, как апериодического звена второго порядка, имеет вид:

где – новые постоянные времени двигателя, определяемые по выражению:

3.6 Передаточная функция тахогенератор

Напряжение тахогенератора пропорционально скорости вращения его вала. У реального датчика скорости вращения, основанного на этом устройстве имеется небольшая постоянная времени и некоторая нелинейность характеристики. В рамках данной работы будем считать элемент обратной связи (тахогенератор) – безынерционным звеном. В этом случае уравнение описывающее работу тахогенератора имеет вид:

Передаточная функция тахогенератора как безынерционного звена будет иметь вид: