§ 5. Числовые характеристики двумерной св.

Распределение вероятностей двумерной СВ (X,Y) полностью ее характеризует. Но иногда достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики, описывающие особенности математической модели эксперимента.

Рассмотрим начальные и центральные моменты двумерной СВ.

О.1. Начальным моментом порядка k+s двумерной СВ (X,Y) называется математическое ожидание произведения и :

.

О.2. Центральным моментом порядка k+s двумерной СВ (X,Y) называется математическое ожидание произведения и :

или

,

где центрированные СВ.

Для системы дискретных случайных величин :

; .

Порядок моментов определяется суммой индексов .

Начальные моменты первого порядка – это математические ожидания случайных величин и :

; .

Отметим, что точка представляет собой характеристику положения случайной точки , и разброс возможных значений системы случайных величин происходит вокруг этой точки.

Центральные моменты первого порядка равны нулю: .

Центральные моменты второго порядка:

1) Первые два центральных момента – это дисперсии случайных величин и .

;

;

2) О.3. Момент называется смешанным центральным моментом второго порядка или ковариацией (корреляционным моментом или моментом связи) и обычно обозначается как :

.

Свойства ковариации:

1) Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий этих величин:

,

.

2) .

3) Дисперсию можно рассматривать как частный случай ковариации, т.е.:

, .

4) Ковариация двух независимых случайных величин Х и Y, входящих в двумерную СВ (X,Y), равна нулю: .

5) Ковариация характеризует степень зависимости случайных величин и их рассеивание вокруг точки .

6) Размерность ковариации, так же как и дисперсии, равна квадрату размерности случайной величины.

Степень зависимости случайных величин и удобнее характеризовать посредством безразмерной величины – коэффициента корреляции:

О.4. Коэффициентом корреляции СВ и , входящих в двумерную СВ (X,Y), называют отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

.

Свойства коэффициента корреляции:

1) безразмерная величина;

2)

3) Если , то между составляющими существует линейная функциональная зависимость: , ( при ; при ).

4) Коэффициент корреляции независимых СВ равен нулю, т.к. .

О.5. СВ и , для которых , называют некоррелированными.

Замечание. Две независимые СВ всегда не коррелированы, но некоррелированные СВ не всегда являются независимыми. Равенство нулю является необходимым, но не достаточным условием независимости СВ.

5) Если , то составляющие зависимы.

6) Если , то говорят, что случайные величины , связаны положительной корреляцией (т.е. при возрастании одной из случайных величин другая также проявляет тенденцию в среднем возрастать); при – отрицательная корреляция между случайными величинами (т.е. при возрастании одной из случайных величин другая в среднем убывает).