§3. Распределение двумерных дискретных св.
Рассмотрим
двумерную дискретную СВ
,
т.е. величину составляющие которой
дискретны и определены на одном и том
же пространстве элементарных событий
.
Множество значений
такой СВ содержит конечное или счетное
число точек
.
Тогда
вероятность любого события
удовлетворяет аксиомам Колмогорова:
,
,
.
О.
Матрицей
(таблицей) распределения
дискретной двумерной СВ
называют перечень возможных значений
этой величины (т.е. пар чисел
)
и их вероятностей
,
характеризующих вероятность того, что
составляющая Х примет значение
одновременно с этим составляющая Y
примет значение
.
Построим
матрицу
распределения
– прямоугольную таблицу, в которой
записаны все вероятности
(
первая строка содержит все значения СВ
Х, вторая – Y):
Х Y |
|
|
... |
|
... |
|
|
|
... |
|
... |
|
|
|
... |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
... |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
Сумма все вероятностей матрицы распределения равна единице:
.
При
наличии матрицы распределения системы
двух дискретных случайных величин
ее функция распределения находится
суммированием всех вероятностей
,
для которых
и
,
т.е.
.
По матрице распределения системы можно найти законы (ряды) распределения отдельных случайных величин и .
Событие
представим как сумму несовместных
вариантов:
Просуммировав соответствующие вероятности, окончательно получаем:
.
Ряд распределения составляющей Х:
Х |
|
|
... |
|
... |
|
|
|
... |
|
... |
Аналогично получаем:
.
Ряд распределения составляющей Y:
Y |
|
|
... |
|
... |
|
|
|
... |
|
... |
Т.о., чтобы найти вероятность того, что отдельная случайная величина, входящая в систему, примет определенное значение, надо просуммировать вероятности , стоящие в соответствующей этому значению строке (столбце) матрицы распределения.
Пример.
Передаются два сообщения, каждое из
которых может быть независимо от другого
принято с искажением или без искажения.
Вероятность того, что первое (второе)
сообщение принято с искажением, равна
0,1 (0,15). Составить матрицу распределения
двумерной СВ
и функцию распределения
,
если
§ 4. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.
Решение обратной задачи – отыскание закона распределения системы по законам распределения, входящих в систему случайных величин, в общем случае невозможно.
В частном случае, когда случайные величины независимы, задача решается достаточно просто.
О.1.
Две случайные величины
и
называются независимыми,
если независимы все связанные с ними
события:
и
,
и
,
и т.д.
Кроме того, две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.
Т.1. Для того, чтобы СВ Х и Y, входящие в двумерную СВ , были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения ее составляющих:
.
Т.2. Для того, чтобы ДСВ Х и Y, входящие в двумерную СВ , были независимы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:
Для зависимых случайных величин вводится понятие об условном законе распределения.
О.2. Условным законом распределения (условным распределением) СВ , входящей в систему , называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.
Для
дискретной двумерной СВ
условие распределения составляющей Х
при условии, что
,
имеет вид:
.