Глава 4. Системы случайных величин.
Мы рассматривали СВ, возможные значения которых определялись одним числом, - одномерные СВ. Однако в практических задачах очень часто приходится сталкиваться с экспериментами, в которых измеряют 2, 3,..., п характеристик, образующих комплекс или систему. Подобные эксперименты называются многомерными. Для характеристики таких экспериментов вводится понятие системы случайных величин или многомерной СВ.
§1. Понятие о системе случайных величин.
При теоретико-множественной
трактовке любая СВ
есть функция элементарного события,
входящего в пространство элементарных
событий
:
,
т.е.
каждому элементарному событию
ставится в соответствие некоторое
действительное число
,
где
– множество возможных значений случайной
величины
.
Теперь перейдем к рассмотрению системы случайных величин – двух и более.
Например:
координаты падения снаряда
и
;
набор оценок
,
выставленных в приложении к диплому.
Будем
обозначать систему нескольких случайных
величин
как
.
Эта система есть функция элементарного
события:
,
т.е.
каждому элементарному событию
ставится в соответствие упорядоченный
набор действительных чисел
,
где
– множество возможных значений п-мерной
случайной величины
.
Т.о.,
каждому элементарному событию
ставится в соответствие несколько
действительных чисел – значения,
принятые случайными величинами
в результате опыта.
СВ,
входящие в систему, могут быть как
дискретными, так и непрерывными. Систему
двух СВ
можно изобразить случайной точкой на
плоскости с координатами
и
(см. рис. 1.1). Для системы из трех СВ
– случайной точкой в 3-х мерном
пространстве, с координатами
.
И то, и другое можно изобразить в виде
вектора (см. рис. 1.2). Использование
геометрической интерпретации удобно
для любой системы СВ
,
как вектора в
мерном
пространстве:
.
Свойства системы случайных величин определяются как свойствами отдельных величин, входящих в систему, так и зависимостями между случайными величинами.
Полной характеристикой системы случайных величин является закон распределения, который может быть представлен в виде:
функции распределения,
плотности распределения,
матрицы распределения (таблицы вероятностей отдельных значений случайного вектора) и т.д.
§2. Функция распределения системы двух случайных величин.
Рассмотрим двумерную
СВ
,
множество возможных значений которой
.
О.
Функцией
распределения
системы двух случайных величин
называется вероятность появления
события
:
.
Событие
в фигурных скобках означает произведение
событий
и
.
Геометрическое
истолкование
функции распределения
– это вероятность попадания случайной
точки
в бесконечный квадрант с вершиной в
точке
,
лежащей левее и ниже этой точки (см. рис.
2.1). Правая и верхняя границы в квадрант
не включаются.
Из приведенной геометрической
интерпретации можно вывести основные
свойства функции распределения системы
двух случайных величин:
1) Значения функции распределения удовлетворяют неравенству:
2) Функция распределения есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т.е.
при
при
На
рис. 2.1 видно, что при увеличении
или
заштрихованная зона возрастает.
3) Для функции распределения имеют место предельные соотношения:
т.е.
4)
Если один из аргументов стремится к
,
то функция распределения
становится равной функции распределения
случайной величины, соответствующей
другому аргументу:
где
– функция распределения СВ
;
– функция распределения СВ
.
В
этом случае квадрант превращается в
полуплоскость, вероятность попадания
в которую есть функция распределения
случайной величины, соответствующей
другому аргументу.
5) Функции распределения непрерывна слева по каждому аргументу.
Знание функции распределения позволяет решить задачу о вычислении вероятности попадания случайной точки в любые прямоугольные области.
Т.1. Вероятность попадания случайной точки в бесконечную полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов:
у
.
х 
Т.2. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник равна:
.
Функции распределения – наиболее универсальная форма закона распределения, пригодная как для дискретных, так и непрерывных случайных величин.