5. Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение : прямая называется перпендикулярной плоскости если она перпендикулярна любой прямой в плоскости проходящей через точку пересечения.
£ а ┴ α ↔ a ┴ в; а┴с ; а┴d
Теорема 9: (признак перпендикулярности прямой и плоскости) если прямая перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости
а а,в є £
с ┴ a; с ┴ в → с ┴ d
£ в
Следствие. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.
Следствие. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.
Перпендикуляр
к плоскости
А
АВ -перпендикуляр к плоскости
С
В-
проекция прямой
С γ В АС -на плоскости
α γ- угол между прямой АС и плоскость α
Определение: углом между прямой и плоскость называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Замечание: если прямая параллельна плоскости, то угол считается равным нулю.
Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой.
Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
6. Перпендикулярность плоскостей
Определение: углом между двумя плоскостями называется угол между прямыми, лежащими в разных плоскостях, перпендикулярными прямой пересечение, имеющих общую точку.
Замечание: угол между параллельными плоскостями равен нулю
с
┴ a ; в ┴ а
в
β 
с є £; в є£
а γ γ - угол между £ и β
с £
Определение: плоскости называются перпендикулярными если они пересекаются под прямым углом.
Теорема 10: если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
а┴£
а є β → β ┴ £
α
β
Теорема 11:если в одной из перпендикулярных плоскостей провести прямую перпендикулярную прямой пересечения, то она будет перпендикулярной второй плоскости.
α с а є α
а
а ┴ с
→ a ┴ в
β
Теорема 12: (о трех перпендикулярах) если прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции, и наоборот.
а с є α ; с ┴ a → с ┴ в
с
є α
;
с ┴ в → с ┴ a 
α в с
