Властивості розв’язків злп

Обмеження ЗЛП (4.2), (4.3) задають в n-вимірному векторному просторі деякий випуклий багатогранник, який ще називають областю допустимих розв’язків ЗЛП або областю допустимих планів. Розв’язки ЗЛП мають такі властивості :

Властивість 1. Множина всіх планів ЗЛП випукла.

Властивість 2. Лінійна функція ЗЛП досягає свого екстремального значення в кутовій точці многогранника розв’язків. Якщо лінійна функція приймає екстремальне значення більше, ніж в одній кутовій точці, тоді вона досягає того ж значення в будь-якій точці, яка є випуклою лінійною комбінацією цих точок.

Якщо лінійна функція ЗЛП обмежена на багатограннику розв’язків, то:

1. існує така кутова точка многогранника розв’язків, в якій лінійна функція ЗЛП досягає свого екстремального значення (min або max);

2. кожний опорний план відповідає кутовій точці многогранника розв’язків.

Таким чином, для розв’язування ЗЛП необхідно дослідити тільки кутові точки многогранника розв’язків, тобто тільки множину опорних планів, один з яких є оптимальний.

Алгоритм графічного методу.

Графічний метод базується на геометричній інтерпретації ЗЛП і застосовується у випадку двох змінних. При цьому число обмежень ЗЛП може бути довільне. У випадку трьох змінних цей метод практично не застосовується. Хоча цей метод також успішно застосовується у випадку, коли n-m=2, де n - кількість невідомих, а m - кількість обмежень ЗЛП.

Алгоритм розв’язування ЗЛП графічним способом:

1. Проводять граничні прямі, рівняння яких отримують в результаті заміни в обмеження (5.2)-(5.3) знаків нерівностей на рівності.

2. Визначають півплощини, використовуючи кожне з обмежень задачі.

3. Будують многокутник розв’язків, який отримується в результаті перетину півплощин, які визначаються нерівностями (5.2), (5.3).

4. Будують вектор Р=(c₁,c₂), який вказує напрям найшвидшого зростання функції Z (Р = grad Z(0,0)).

5. Проводять опорну пряму c₁  x₁ + c₂  x₂= 0;

6. Переміщують опорну пряму c₁  x₁ + c₂  x₂= 0 в напрямку вектора Р, в результаті чого знаходять точку, в якій цільова функція досягає мінімуму (максимуму), або встановлюють необмеженість цільової функції знизу (зверху) на многокутнику розв’язків.

7. Визначають координати точки мінімуму (максимуму) цільової функції та обчислюють значення цільової функції в цій точці.

Недолік графічного методу полягає в тому, що він застосовується в основному, коли кількість змінних задачі n=2 або в спеціальному випадку, коли n-m = 2.

Симплекс метод розвязання задачі лінійного прграмування.

Симплекс-метод - це скінченний ітераційний метод для розв’язання ЗЛП, який полягає в ціленаправленому переборі вершин многогранника, що веде до покращення значення цільової функції.

Нехай задана ЗЛП в канонічній формі (якщо це не так, то зведемо її до канонічної форми)

Z= c₁  x₁ + c₂  x₂ +...+ c_n  x_n  max, (6.1)

(6.2)

x_j 0, j= , (6.3)

де а_ij, b_j, c_j (i= , j= )- задані постійні числа, причому (m n, b_i>0).

Нехай система обмежень (6.2) ЗЛП містить m одиничних векторів. Без обмеження загальності можна допустити, що одиничними є перші m векторів.

Тоді ЗЛП (6.1)-(6.3) набуде вигляду

Z= c₁  x₁ + c₂  x₂ +...+ c_n  x_n  max, (6.4)

(6.5)

x_j  0, j= . (6.6)

Запишемо ЗЛП (6.4)-(6.6) у векторній формі

Z= СX  max, (6.7)

A₁  х₁ + A₂  х₂ +....+ A_n  х_n=В , (6.8)

X 0 , (6.9)

А₁= , ..., А_m= , А_m+1= , ..., А_n= , В=

Вектори А₁, ..., А_m - лінійно незалежні одиничні вектори, які утворюють базис. Тому х₁, х₂,...., х_m - базисні змінні; х_m+1, ...., х_n - вільні змінні, які покладемо рівними нулю. Оскільки b_i>0, i= , а вектори А₁, А₂ , ..., А_m - одиничні, то отримаємо початковий опорний план

Х₀= (x₁= b₁, ..., x_m= b_m, x_m+1= 0, ..., x_n= 0). (6.10)

Вектору Х₀ відповідає розклад

х₁  А₁ + х₂  А₂ +...+ х_m  A_m= В (6.11)

Оскільки А₁, А₂, ..., А_m - лінійно незалежні, то план Х₀ є опорний. Побудуємо другий опорний план, при якому значення цільової функції Z збільшується, тобто Z (X₁) > Z (X₀). Оскільки вектори А₁, А₂, ..., А_m утворюють базис, то кожний з n векторів А₁, А₂, ..., А_m, ..., А_n можна розкласти за векторами цього базису

А_j= x_ij  A_i, j= . (6.12)

Нехай в деякого вектора, наприклад, А_m+1, який не входить в базис, є хоч одна додатня компонента x_i,m+1 > 0 . Тоді розклад цього вектора за векторами базису має вигляд

х_1,m+1  А₁ + х_2,m+1  А₂ +...+ x_m,m+1  А_m = А_m+1 (6.13)

Помноживши (6.13) на деяке додатнє число  > 0 і віднявши від (6.11), отримаємо

(х₁ -   х_1,m+1)  А₁ +...+ (х_m -   х_m,m+1)  А_m +   А_m+1= В (6.14)

Тоді вектор Х₁ матиме вигляд:

Х₁ = .

Щоб вектор Х₁ був планом задачі, потрібно, щоб він мав хоча б m додатніх компонент. Оскільки  > 0, то потрібно покласти

х_і -   х_і,m+1  0 (6.15)

лише для додатніх х_і,m+1, оскільки для від’ємних х_і,m+1 ця нерівність виконується автоматично. Звідки отримаємо

0<   . (6.16)

Оскільки опорний план не може містити (m+1) додатню компоненту, то в плані Х₁ потрібно обнулити одну з компонент. Цього можна досягти вибором числа , якщо покласти

= ₀ = . (6.17)

Таким чином, отримали новий опорний план Х₁.

Використання ₀ дозволяє визначити, який вектор потрібно вивести з базису, а який ввести в базис.

Необхідність симплекс методу.

Як було зауважено при викладі попередньої теми, не всяку ЗЛП можна розв’язати графічним методом. Недолік графічного методу полягає в тому, що він застосовується в основному, коли кількість змінних задачі n=2 або в спеціальному випадку, коли n-m = 2.

Нехай задана ЗЛП в канонічній формі (якщо це не так, то зведемо її до канонічної форми)

Z= c₁  x₁ + c₂  x₂ +...+ c_n  x_n  max, (6.1)

(6.2)

x_j 0, j= , (6.3)

де а_ij, b_j, c_j (i= , j= )- задані постійні числа, причому (m n, b_i>0).

З геометричної точки зору, як було зазначено вище, обмеження (6.2), (6.3) задають в n-вимірному векторному просторі випуклий многогранник, який є перетином m-вимірних гіперплощин. На основі другої властивості розв’язку ЗЛП переконуємось, що оптимальний розв’язок ЗЛП зв’язаний з опорними планами, кожний з яких визначається системою m лінійно незалежних векторів А₁, А₂, ..., А_m з n векторів А₁, А₂, ..., А_m, ..., A_n.

Кількість опорних планів визначається числом, яке дорівнює числу базисів

r  C_n^m = .

При великих n i m знайти оптимальний план простим перебором всіх опорних планів не просто і часто не під силу навіть сучасним ЕОМ. Тому розроблені спеціальні методи пошуку потрібних вершин многогранника, які основані на цілеспрямованому переході від одного опорного плану до іншого, що веде до покращеного значення цільової функції.

Одним з таких методів є симплекс-метод, який дозволяє з відомого опорного плану задачі за скінченне число кроків побудувати її оптимальний план. Кожен з кроків зводиться до знаходження нового опорного плану, якому відповідає покращене значення цільової функції (6.1). У вітчизняній літературі симплекс-методом часто називають метод послідовного покращення плану.

Отже, симплекс-метод - це скінченний ітераційний метод для розв’язання ЗЛП, який полягає в ціленаправленому переборі вершин многогранника, що веде до покращення значення цільової функції.

Економіна інтерпритація розвязку прямої задачі про оптимільний випуск прогдукції.

З кожною ЗЛП тісно зв’язана друга ЗЛП - двоїста. Початкова задача називається прямою. Розглянемо приклад задачі про організацію випуску продукції. Запис математичної моделі прямої задачі, для випадку двох змінних має вигляд

Z= c₁  x₁ + c₂  x₂  max, (7.1)

(7.2)

x_j  0, j= . (7.3)

Економічна інтерпретація постановки прямої задачі полягає в наступному: скільки і якої продукції х₁ та х₂ потрібно випустити, щоб при заданих обмеженнях на ресурси b₁, b₂, b₃ оптимізувати прибуток (Z  max) від реалізації цієї продукції.

В розгорнутій стандартній формі

Пряма задача
Z=c1  x1+c2  x2 +...+ cn  xnmax,
xj  0, j= .

Постановка двоїстої задачі та її економічна інтерпритація.

Мета двоїстої задачі полягає в оптимізації затрачених ресурсів при заданих обмеженнях на їх вартості. Запис математичної моделі двоїстої задачі має вигляд

F= b₁  y₁ + b₂  y₂ + b₃  y₃  min, (7.4)

(7.5)

y_i  0, і= .

Економічна інтерпретація постановки двоїстої задачі на прикладі задачі про оптимальну організацію випуску продукції полягає в наступному: які повинні бути ціни y_i, i= одиниці кожного запасу сировини, щоб при заданих їх кількостях b₁, b₂, ..., b_m і величинах вартості c_j, j= одиниці j-ї продукції, мінімізувати сумарну вартість ресурсів (F min), які йдуть на виготовлення цієї продукції.

В розгорнутій стандартній формі запис математичних моделей пари двоїстих задач прийме вигляд

Пряма задача	Двоїста задача
Z=c1  x1+c2  x2 +...+ cn  xnmax,		F=b1y1 + b2  y2 +...+ bm ymmin,
xj  0, j= .		yi  0, i= . (7.7)

Алгоритм двоїстого симплекс методу.

Двоїсту задачу

F=b1y1 + b2  y2 +...+ bm ymmin,

yi  0, i= .

зручно розв’язувати двоїстим симплекс-методом. Ідея цього методу грунтується на зв’язку між розв’язками прямої та двоїстої задач. У двоїстому симплекс-методі здійснюється рух по так званих спряжених базисах і відповідних розв’язках прямої задачі до тих пір поки не виконається деяка ознака оптимальності (аналогічно як і у звичайному симплекс-методі). Із розв’язку однієї із пари симетричних двоїстих задач, можна отримати оптимальний план двоїстої задачі (значення змінних в рядку оцінок останньої симплекс-таблиці).

Алгоритм розв’язання ЗЛП двоїстим симплекс-методом полягає у виключені всіх від’ємних значень в стовпці В. Після цього продовжують шукати оптимальний план звичайним симплекс-методом.

Вибір ведучого елемента при реалізації ЗЛП двоїстим симплекс-методом можна дещо спростити. В стовпці вільних членів В знаходимо найменше від’ємне число. Воно визначає ведучий рядок симплекс-таблиці. Для визначення ведучого стовпця складаємо відношення від’ємних коефіцієнтів (m+1)-го рядка (_j < 0) до від’ємних коефіцієнтів ведучого рядка (x_ij < 0). Мінімальне відношення min {_j / x_ij} визначає ведучий стовпець. На перетині ведучого рядка та стовпця міститься ведучий елемент.

Перерахунок елементів в симплекс-таблицях двоїстим симплекс-методом здійснюється аналогічно, як і звичайним симплекс-методом.

Процес відшукання оптимального плану ЗЛП двоїстим симплекс-методом продовжують до виконання умов оптимальності звичайного симплекс-методу

Транспортна задача лінійного програмування. Постановка задачі та її математична модель.

Постановка ТЗ. При організації та плануванні перевезень вантажів виникає широкий клас задач, які пов’язані з мінімізацією затрат на перевезення або з максимізацією прибутку. Цей клас задач розв’язують здебільшого за допомогою математичного апарату транспортної задачі лінійного програмування.

Розглянемо постановку (ТЗ) в загальному вигляді. Нехай маємо m постачальникiв A₁, A₂, ..., A_m, з запасами однорiдних вантажів a₁, a₂, ..., a_m та n споживачів B₁, B₂, ..., B_n з потребами b₁, b₂, ..., b_n. Тарифи перевезень вантажів, які можуть задаватись різними показниками: відстанями, вартостями або часовими показниками перевезень між постачальниками та споживачами, задані у вигляді матриці

c(m, n)= .

Необхідно скласти такий план перевезень вантажів, щоб по можливості задовольнити потреби споживачів, при якому сумарна вартість перевезень мінімальна.