Розгорнута форма запису злп
Нехай дано лінійну функцію
Z= с1 x1 + с2 x2 +...+ сn xn max(min) (4.1)
і систему лінійних обмежень
(4.2)
xj 0, j= (4.3)
де aij, bi, cj, і= , j= - задані постійні величини.
Необхідно знайти такі невід’ємні значення x1, x2, ..., xn, які задовільняють систему обмежень (4.2) і надають лінійній функції (4.1) екстремального значення.
Лінійна функція (4.1) називається цільовою функцією (лінійною формою або функцією мети) ЗЛП (4.1)-(4.3), а умови (4.2) і (4.3) - обмеженнями даної задачі. Це приклад розгорнутої (скалярної) форми запису ЗЛП.
Запис ЗЛП у вигляді (4.1)-(4.3) називається канонічною (основною) формою запису ЗЛП, оскільки в ній обмеження (4.2) задані у формі рівностей.
У випадку, коли обмеження (4.2) містять як рівності, так і нерівності, то така задача називається загальною ЗЛП.
Якщо ж обмеження (4.2) містять лише нерівності, то така ЗЛП називається стандартною (симетричною) ЗЛП.
2. Векторна форма запису злп
Максимізувати (мінімізувати) лінійну функцію
Z= C Х max (min) (4.4)
при обмеженнях
A1 x1 + A2 x2 +...+ An xn= В, Х 0, (4.5)
де С= (с1, c2, ..., cn); X= (x1, x2, ..., xn); C X- скалярний добуток. Вектори А1, А2, ..., An, В складаються із коефіцієнтів при невідомих та вільних членів
А1=
,
А2=
,
..., Аn=
,
В=
.
3. Матрична форма запису злп
Максимізувати (мінімізувати) лінійну функцію
Z= C X max (min) (4.6)
при обмеженнях
A X= В, X 0 , (4.7)
де С=(c1, c2, ..., cn) - матриця-рядок; A= (aіj), (i= , j= ) - матриця системи;
X=
- матриця-стовпець, В=
-
матриця-стовпець.
4. Запис злп за допомогою символів сумування
Максимізувати (мінімізувати) лінійну функцію
Z=
сj
хj
max (min)
(4.8)
при обмеженнях
aij
xj=
bi,
i=
,
xj 0, j= . (4.9)
Використовуючи форму запису ЗЛП за допомогою знаків сумування, математичні моделі задач лінійного програмування зручно подати в такій таблиці
Канонічна |
Стандартна |
Загальна |
Zmax, Zmin |
1. Мета задачі:
Z= Zmax, Zmin |
Zmax, Zmin |
Рівняння
aij xj= bi i= , |
2. Обмеження задачі: Нерівності
aij xj bi i= |
Рівняння і нерівності
aij
xj
i= , |
Всі змінні xj
0, j= |
3. Умови невід’ємності: Всі змінні xj 0, j= |
Частина змінних
xj
0, j= xj-довільні,
j= |
сj
xj
max (min)
,
bi
(k<n)
Поняття про базес n-вимірного векторного простору. Розклад векторів за базесом.
Базисом n-вимiрного векторного простору називається будь-яка сукупнiсть n лiнiйно незалежних векторiв цього ж простору.
Нехай в n-вимірному векторному просторі задана сукупність одиничних векторів
Е1= (1, 0, ...., 0),
Е2= (0, 1, ...., 0),
.........................
Еn= (0, 0, ...., 1).
Неважко показати, що дана система векторів утворює базис n-вимірного векторного простору.
Справедлива теорема (про розклад векторів за базисом): всякий вектор n-вимірного векторного простору можна представити як комбінацію векторів базису цього простору і притому єдиним чином.
Розклад вектора за базисом та перехiд вiд одного базису до iншого полягає в наступному: нехай в n-вимiрному просторi задана система лiнiйно незалежних векторiв А1, A2, ..., An, An+1, ..., An+m. Оскільки n+m>n, то дана система векторів є лінійно залежною.
Виникає задача:
знайти пiдсистему iз n векторiв, якi утворюють базис;
розкласти iншi вектори цієї системи за векторами знайденого базису;
якщо iснує декiлька пiдсистем векторiв, якi утворюють базис, то перейти до нового базису i розкласти iншi вектори за векторами цього базису.
Поставлена задача розв’язується досить просто методом Жордана-Гаусса
Поняття плану задачі лінійного програмування властивості розвязку.
Планом або розв’язком ЗЛП (4.1)-(4.3) називається вектор X= (x1, x2,..., xn), який задовільняє умови (4.2) і (4.3).
План X= (x1, x2, ...., xn) називається опорним, якщо вектори Аi (i= ), які входять в розклад (4.5) з додатніми коефіцієнтами xi, є лінійно незалежні.
Опорний план називається невиродженим, якщо він має m додатніх компонент. В іншому випадку опорний план називається виродженим.
Оптимальним планом (оптимальним розв’язком) ЗЛП називається план, при якому значення лінійної функції Z досягає найменшого (найбільшого) значення.