29

Понятя моделі та моделювання. Класифікація моделей.

На підставі різних критеріїв класифікації, виділяють наступні види моделей:

-  динамічні або статичні;

-  детерміновані або стохастичні;

-  неперервні, дискретні або дискретно-неперервні;

-  лінійні чи нелінійні;

-  з розподіленими або зосередженими параметрами;

-  аналітичні, імітаційні чи комп’ютерні.

Динамічні моделі (dynamic models) відтворюють поведінку нестаціонарних об’єктів, що змінюються у часі. Статичні моделі описують стан об’єкта у деякий момент часу. Такі моделі розробляються для стаціонарних об’єктів, зміни яких у часі не є істотними стосовно періоду розробки та використання моделі.

Детерміновані моделі (deterministic models) використовують для опису процесів, що не містять істотної випадковості. Для моделювання нестаціонарних імовірнісних процесів використовують стохастичні моделі (stochastic models). Якщо об’єкт моделювання стаціонарний і піддається випадковим впливам, то модель називають статистичною.

Неперервні моделі (continuous model) представляють системи з неперервними процесами, а дискретні моделі відображають поведінку систем з дискретними станами. Дискретно-неперевні моделі використовуються, коли на об’єкті виділяються обидва типи процесів.

Якщо при описі моделі використовуються лише лінійні математичні конструкції (наприклад, лінійні алгебраїчні рівняння), то модель називають лінійною, інакше – нелінійною.

Моделі з розподіленими параметрами (models with distributed parameters) описують просторове поширення явищ, а моделі з зосередженими параметрами нехтують просторовою складовою. Динамічні неперервні детерміновані моделі з розподіленими параметрами використовують апарат диференціальних рівнянь у частинних похідних, а з зосередженими параметрами – звичайних диференціальних рівнянь.

Для аналітичних моделей (analytical models) властиво те, що процеси функціонування об’єкта представляються у вигляді аналітичних математичних залежностей: алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь або їх систем, логічних умов.

Імітаційне моделювання (simulation) передбачає представлення моделі у вигляді алгоритму та комп’ютерної програми, яка дозволяє відтворити поведінку об’єкту.  Традиційно під моделюванням на ЕОМ розумілося лише імітаційне моделювання. Але завдяки розвитку графічного інтерфейсу та графічних пакетів значного поширення набуло комп’ютерне структурно-функціональне моделювання, а також розпочалося використання комп’ютера з метою концептуального моделювання, наприклад для побудови систем штучного інтелекту.

Під комп’ютерною моделлю (computer model) найчастіше розуміють: умовний образ об’єкта чи деякої системи об’єктів (або процесів), описаних за допомогою взаємозалежних комп’ютерних таблиць, схем, діаграм, графіків, малюнків, анімаційних фрагментів, гіпертекстів і т. ін., що відбивають структуру та взаємозв’язки між елементами об’єкта чи системи.

Математичне моделювання. . Математична модель.

Основні етапи прийняття рішень на основі мат моделей та використання компютерів.

Приклади побудови мат моделей деяких економічних задач.

Предемет математичного програмування.

Завдання курсу методи оптимізації.

На практиці виявляється, що в більшості випадків поняття «найкращий результат» може бути виражено кількісними критеріями - мінімум витрат, мінімум часу, максимум прибутку і т.д. Тому можлива постановка математичних задач відшукання оптимального (optimum - найкращий) результату, так як принципових відмінностей у відшуканні найменшого або найбільшого значення немає. Завдання на пошук оптимального рішення називаються задачами оптимізації. Оптимальний результат, як правило, перебуває не відразу, а в результаті процесу, що називається процесом оптимізації. Застосовувані в процесі оптимізації методи отримали назву методів оптимізації. Щоб вирішити практичну задачу треба перевести її на математичну мову, тобто скласти її математичну модель. Математична модель являє собою струнку і глибоку сукупність знань про математичні моделі зі своїми проблемами, з власними шляхами розвитку, зумовленими внутрішніми і зовнішніми причинами і завданнями. Часто в математичній моделі потрібно знайти найбільше або найменше значення деякої функції на деякій множині, тобто вирішити задачу оптимізації. Методів вирішення завдань оптимізації досить багато. Деякі з них розглядалися при знаходженні екстремальних значень функцій однієї та багатьох дійсних змінних. Крім точних методів широко використовуються і наближені, наприклад, метод дихотомії і т.д. Знання методів знаходження оптимального рішення дозволяє вибирати найбільш ефективні і самі оптимальні рішення тактичних.

Класифікація задач математичного програмування за виглядом цільової функції та обмеження.

Поняття n-вимірного векторного прстрору основні операції над векотрами.

Сукупнiсть всеможливих впорядкованих систем з n дiйсних чисел пiсля введення в неї операцiй додавання i множення на число називається n-вимiрним простором.

Впорядкована система iз n дiйсних чисел а1, a2, ..., an називається n-вимiрним вектором i позначається так: А=(а1, a2, ..., аn). Числа aj (j= ) називають компонентами вектора А.

Коефiцiєнти будь-якого лiнiйного рiвняння з n невiдомими утворюють n-вимiрний вектор. Будь-який розв’язок СЛАР з n невiдомими є n-вимiрним вектором.

Основнi операції над векторами

Сумою векторів А і В називають вектор, компоненти якого дорівнюють сумі відповідних компонент доданків векторів

А + B= (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., a_n + b_n).

Нульовий вектор - це вектор, всі компоненти якого є нулі

0 = (0, 0, ..., 0).

Протилежним до вектора А називається вектор

-A= (-a₁, -a₂, ..., -a_n).

Наслідок. Сума вектора А і протилежного до нього -А є нуль вектор

A+(-A)= 0.

Різницею двох векторів А і В є вектор

A - B= (a₁ - b₁, a₂ - b₂, ..., a_n - b_n).

Добутком вектора А на число k називається вектор

k  A= (k₁  a₁, k₂  a₂, ..., k  a_n).

Очевидно, що множення вектора на число є не що інше, як розтяг даного вектора в k- разів при |k| > 1, або його стиск в k - разів при |k| < 1.

Скалярним добутком двох векторів А і В називається дійсне число, яке дорівнює сумі добутків відповідних компонент цих векторів

A  B= a_і  b_і = a₁  b₁ + a₂  b₂ + ... +a_n  b_n.

Модулем вектора (довжиною) називається число, яке визначається так:

| A |= .

Лінійна залежнісь векторів

Вектор А називається пропорційним вектору В, якщо існує таке число k, що В= k  А.

Узагальненням поняття пропорційності є поняття лінійної комбінації векторів.

Вектор В називається лiнiйною комбiнацiєю векторiв А₁, А₂, ..., А_n, якщо iснують такi числа k₁, k₂, ... , k_n, для яких виконується співвідношення

В= k₁  A₁ + k₂  A₂ + ...+ k_n  A_n.

Система векторiв А₁, A₂, ... , A_r, (r2) називається лiнiйно залежною, якщо хоча б один iз векторiв системи є лiнiйною комбiнацiєю iнших, i лiнiйно незалежною - в протилежному випадку.

Рангом матриці називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, який можна утворити із елементів даної матриці, зберігаючи порядок їх слідування.

Очевидно, що при безпосередньому обчисленні рангу немає необхідності обчислювати всі визначники m-го, (m-1)-го і т.д. порядків. Обчислюється визначник r-го порядку, що стоїть у верхньому лівому кутку матриці. У випадку, коли він відмінний від нуля, обчислюються тільки окаймляючі його визначники (r+1)-го, (r+2)-го, ..., m-го порядків. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r.

Канонічний вигляд задачі лінійного програмування.

Задана ЗЛП в канонічній формі

Z= c₁  x₁ + c₂  x₂ +...+ c_n  x_n  max, (6.1)

(6.2)

x_j 0, j= , (6.3)

де а_ij, b_j, c_j (i= , j= )- задані постійні числа, причому (m n, b_i>0).

Загальна постановка задачі лінійного програмування та її запис в різних формах.

При економіко-математичному моделюванні та розв’язанні задач планування і керування досить широкого поширення набули ЗЛП. Їх особливістю є те, що при їх математичному записі як цільова функція, так і система обмежень є лінійними.

ЗЛП можна подати в різних формах запису.