1.3. Определение монотонной последовательности действительных чисел.

Определение 1. Последовательность называется неубывающей, если ее элементы удовлетворяют условию .

Последовательность называется возрастающей, если ее элементы удовлетворяют условию .

Последовательность называется невозрастающей, если ее элементы удовлетворяют условию .

Последовательность называется убывающей, если ее элементы удовлетворяют условию

.

Определение 2. Последовательность называется монотонной, если удовлетворяет неравенствам определения 1. Последовательность называется строго монотонной, если она возрастающая или убывающая.

Очевидно, что монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие сверху.

Терема 1 (Вейерштрасса). Каждая ограниченная монотонная последовательность сходится.

► Пусть последовательность неубывающая, т.е. ..

Поскольку ограничена, то .

Рассмотрим множество значений последовательности . В силу условия, оно не пусто и ограничено. Тогда это множество имеет точную верхнюю грань . Согласно определению верхней грани

, т.е. .

С другой стороны, по определению верхней грани выполняется неравенство .

Тогда получим . Отсюда , что означает .

Аналогично теорема доказывается в случае, когда последовательность невозрастающая. ◄

Замечание. Обратное верно не всегда: не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.

1.4. Определение предела числовой последовательности действительных чисел.

Операция предельного перехода является одной из основных в математическом анализе.

Определение 1. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного действительного числа найдется такой номер , что при всех элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .

Символическая запись:

.

Последовательности, имеющие предел , , называются сходящимися (к числу а), а последовательности, не имеющие конечного предела, – расходящимися.

2. Неравенство означает, что последовательность является бесконечно малой последовательностью. Отсюда следует, что любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где – бесконечно малая последовательность. Очевидно, что

.

3. Бесконечно большая последовательность имеет бесконечный предел:

.

1.5. Свойства сходящихся последовательностей действительных чисел.

Лемма 1. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу , то .

► Доказываем методом от противного. Предположим, что . По определению бесконечно малой последовательности

.

В силу произвольности положим . Тогда .По условию . Подставим в неравенство: . Отсюда при получим . ◄

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

► Пусть . Доказываем методом от противного. Предположим, что существует еще один предел , причем . Из определения предела имеем и бесконечно малые последовательности. Отсюда и . Приравнивая, получим . Тогда все члены бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу. По лемме 1 получим . Значит, . ◄

Теорема 2. Если последовательность сходится, то она ограничена:

.

► Пусть – сходящаяся последовательность. По определению предела для любого существует натуральное число , такое, что для любого выполняется неравенство . Тогда для любого имеет место неравенство:

, т.е. .

Пусть . Тогда , что и означает ограниченность числовой последовательности. ◄

Замечание. Обратное верно не всегда: ограниченная последовательность может и не иметь предела.

Теорема 3. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей:

.

► Поскольку , то можно записать . Аналогично, , то . Здесь и бесконечно малые последовательности при . Тогда

.

Последовательность есть бесконечно малая последовательность при . Следовательно, последовательность сходится и имеет предел, равный .

Аналогично для разности последовательностей. ◄

Теорема 4. Произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность предел которой равен произведению пределов последовательностей:

.

► Поскольку , то можно записать и , где и бесконечно малые последовательности при . Тогда

.

Последовательности , , есть бесконечно малые последовательности при согласно свойствам бесконечно малых последовательностей. Следовательно, последовательность сходится и имеет предел, равный .◄

Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательностей и , , есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей:

.

►Поскольку , то можно записать и , где и бесконечно малые последовательности при . Тогда

.

Последовательность является бесконечно малой в силу свойств бесконечно малых последовательностей.

Покажем, что последовательность есть ограниченная последовательность.

По определению предела имеем

.

Тогда

,т.е. .

Отсюда для любого .

По свойству бесконечно малых последовательностей, последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Следовательно, последовательность является сходящейся и . ◄