Вопрос 1 Последовательности действительных и комплексных чисел. Свойства сходящихся последовательностей

1.1. Определение числовой последовательности действительных чисел. Пусть , , и – множество натуральных чисел.

Определение 1. Числовой последовательностью элементов множества называется отображение . Значение называется общим членом последовательности, числа называются элементами (членами) последовательности.

Обозначается: , , , .

Последовательность считается заданной, если указан способ получения ее любого элемента.

Ниже приведены способы задания последовательности.

1. Формулой -го члена.

Например, .

2. Рекуррентный.

Например, числа Фибоначчи , , .

3. Словесный.

Например, – это приближение числа по недостатку с точностью :

, , , .

4. Графический:

– точками с координатами , , на плоскости ,

– точками , , на числовой оси .

Пусть даны две последовательности , .

Определение 2. Суммой последовательностей и называется последовательность , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов последовательностей

.

Определение 3. Произведением последовательности на число называется последовательность , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности на число :

.

Определение 4. Произведением последовательностей и называется последовательность , каждый элемент которой равен произведению соответствующих элементов последовательностей

.

Определение 5. Если все члены последовательности отличны от нуля, то частным последовательностей и называется последовательность , каждый элемент которой равен частному соответствующих элементов последовательностей:

.

1.2. Ограниченные и неограниченные последовательности действительных чисел.

Пусть задана последовательность .

Определение 6. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число ( ) такое, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству ( ). Числа и называются верхней и нижней гранями числовой последовательности .

Символическая запись:

– ограничена сверху .

– ограничена снизу .

Определение 7. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. существуют числа и такие, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству .

Символическая запись:

– ограничена .

Пусть . Тогда условие ограниченности можно записать в виде .

Определение 8. Последовательность называется ограниченной, если существует действительное число такое, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству .

Определение 9. Последовательность называется неограниченной, если для любого действительного числа существует элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству , т.е. либо , либо .

Символическая запись:

– неограниченна .

Пример. Последовательность является неограниченной, так как для любого положительного числа при .