Линейное подпространство в линейном пространстве

Линейное подпространство – такое подмножество , для которого определены операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Теорема: пусть L произвольное линейное подпространство в линейном пространстве , тогда возможен один из 4х случаев:

1. ={ }

2. =

3. =

4. =

Доказательство:

Пусть и - линейное подпространство.

Если { }, то это случай 1.

Предположим, что

Рассмотрим прямую и

Покажем, что - линейное подпространство.

Если то

Предположим, что

Рассмотрим плоскость и

Покажем, что - линейное подпространство.

Если то

Предположим, что

линейно независимые, они не компланарны.

Рассмотрим множество

Покажем, что

1. (по условию )

2. 

Размерность линейных подпространств в линейном пространстве .

Определение: число называется размерностью линейного пространства Е, если в Е существует линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы.

Теорема:

1. 

2. 

3. 

4. 

Доказательство:

1. по определению

2. - множество векторов параллельных прямой линейно независим - коллинеарны линейно зависимые

3. - множество векторов параллельных плоскости П : не коллинеарны линейно независимые – параллельны П компланарны линейно зависимые

4. - множество всех векторов : не компланарные линейно независимые

по доказанному ранее линейно зависимые

Базисы линейных подпространств в линейном пространстве .

Координаты векторов и их свойства.

Определение: базисом линейного пространстве Е называется упорядоченный набор векторов если:

1. – линейно независимые

2. 

– координаты вектора в базисе Е

Теорема:

1. В нулевом пространстве базиса нет

2. В базисом служит один ненулевой вектор вектор

3. В базисом служат два неколлинеарных вектора и

4. В любые три некомпланарных вектора образуют базис.

Доказательства:

Если размерность пространства Е равна k, то найдутся k линейно независимых векторов, которые образуют базис.

1. базиса нет

2. - линейно независим

образует базис

3. и не коллинеарные линейно независимые ⇒ образуют базис

4. и не компланарные линейно независимые ⇒ образуют базис

Теорема:

1. Координаты любого вектора в фиксированном базисе определяется однозначно.

2. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

3. При умножении вектора на число координаты вектора умножаются на число.

Доказательство:

1. 

, , - базис, линейно независимые

2. 

3. 

Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве (декартовая). Декартовая прямоугольная система координат. Координаты точки. Аффинные координаты точки. Декартовые прямоугольные координаты точки.

Определение: пусть в нулевом подпространстве из фиксирована точка О – начало координат и базис. Совокупность точки О и базиса есть аффинная система координат.

Аффинная система координат на прямой – это точка О и базис .

Аффинная система координат на плоскости – это точка О и базис: любые неколлинеарные

Аффинная система координат в пространстве – это точка О и базис: любые некомпланарные .

Определение: декартовая прямоугольная система координат – это в частном случае аффинная (декартовая) система координат, когда базисные векторы имеют единичную длину и на плоскости или в пространстве они взаимно перпендикулярные. В данном случае базис называют ортонормированным.

Определение: пусть дана аффинная система координат; аффинными координатами точки М называются координаты вектора , где О – начало координат. Координаты точки М на прямой с базисом - это коэффициент , на плоскости с базисом - , в пространстве с базисом .