Комментарии к контрольным заданиям

1 – 10. При решении этих задач используются определения и формулы, приведённые в первом параграфе.

11 – 20. При решении задач этой десятки используется формула полной вероятности .

21 – 30. Задачи этой десятки решаются по формуле = .

31 – 40. Нужные для решения задач формулы и чертёж приведены в третьем параграфе. M [ X ²] вычисляется по формуле

M [ X ²] = .

41 – 50. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины X вычисляются по формулам, приведённым в третьем параграфе.

y F(x) 1 x 0 10

Рассмотрим пример. Пусть Вычислим плотность распределения: ( не существует при x = 10). Тогда

y 1 p(x) x 0 10

, , D[X ] = = M [ X ²] –M ² [ X ] = , .

51 – 60. Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал вычисляется по формуле

.

Приближённые значения функции Лапласа можно найти по таблицам, имеющимся в любом учебнике по теории вероятностей. Приведём некоторые значения функции Лапласа: (0,5)  0,1915; (1)  0,3413; (1,5)  0,4332; (2)  0,4772; (2,5)  0,4938.

61 – 70. Пусть двумерная случайная величина (X, Y) задана при помощи таблицы, называемой законом распределения.

Y X	–3	1	2
–2	0,1	0,2	0,1
1		0,2	0,1
3	0,1	0,1	0,1

Введём дополнительную строку и дополнительный столбец, просуммировав предварительно заданные вероятности по столбцам и строкам. В пустую клетку поставим 0, так как сумма всех вероятностей должна быть равна единице. В нижней правой ячейке таблицы обычно ставится единица, представляющая сумму вероятностей, расположенных как в дополнительной строке, так и в дополнительном столбце.

Y X	–3	1	2
–2	0,1	0,2	0,1	0,4
1	0	0,2	0,1	0,3
3	0,1	0,1	0,1	0,3
	0,2	0,5	0,3	1

Выясним, являются ли случайные величины X и Y независимыми.

Если случайные величины независимы, то , в частности, должно выполняться равенство .

У нас , , ; . Вывод: случайные величины X и Y независимыми не являются.

Вычислим M_X и M_Y. = . .

смешанный момент находим по формуле . Эта формула предписывает каждую вероятность умножить на значение случайной величины X, расположенное слева, и значение случайной величины Y, расположенное вверху, а затем полученные произведения сложить. Итак, .

корреляционный момент . Поэтому коэффициент корреляции r тоже равен 0. Случайные величины оказались некоррелированными. В этом случае линейное корреляционное уравнение выписывать не имеет смысла, так как оно вырождается в равенство , то есть наилучшим приближением вида случайной величины Y служит её собственное математическое ожидание.

Если бы корреляционный момент был отличен от нуля, для вычисления коэффициента корреляции нам пришлось бы найти и . Покажем, как это делается.

.

Аналогично получаем, что = 3,25.

Тогда , .

X	51	59	67	75	83	91	99
Час-тоты	2	3	12	38	27	13	5

71 – 80. Пусть дан статистический ряд. Объём выборки n равен сумме частот, 2 + 3 + 12 + 38 + 27 + 13 + 5 = = 100. Количество разрядов k = 7,

Условные разряды	–3	–2	–1	0	1	2	3
Частоты	2	3	12	38	27	13	5

величина разряда c = 8. В качестве ложного нуля возьмём 75.

Получим условный статистический ряд. Найдём условные моменты, затем статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения:

;

= ;

; , . Оценку среднего квадратического отклонения можно вычислить несколько иначе, а именно по формуле , где . Тогда .

Переходим к выравниванию статистического ряда. Выдвигаем гипотезу H: исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 78,52 и средним квадратическим отклонением 9,688. На основании этой гипотезы вычислим выравнивающие частоты.

Процесс вычислений оформим в виде таблицы.

	Вычисление выравнивающих частот5
	xi	ni	ui				i=2,…,6; p1=φ1+0,5		=100
	51	2	–3	–2,94	–2,43	–0,49	–0,49+0,5=0,01		1
	59	3	–2	–1,94	–1,60	–0,45	–0,45+0,49=0,04		4
	67	12	–1	–0,94	–0,78	–0,28	–0,28+0,45=0,17		17
	75	38	0	0,06	0,05	0,02	0,02+0,28=0,3		30
	83	27	1	1,06	0,88	0,31	0,31–0,02=0,29		29
	91	13	2	2,06	1,70	0,46	0,46–0,31=0,15		15
	99	5	3	3,06	2,53	= 0,5	0,5–0,46=0,04		4

ni Многоугольник частот и выравнивающая кривая 38 27 12 5 x 51 59 67 75 83 91 99

Построим точки ( , ), i = 1, 2, …, 7. Соединив их отрезками прямых, получим многоугольник частот. На этом же чертеже построим точки , i = 1, 2,…,7. Соединив их плавной линией, получим выравнивающую кривую. Затем, чтобы придать чертёжу завершённый вид, оба графика обычно продолжают до пересечения с горизонтальной осью.

Прежде чем вычислять , объединим два первых разряда, сложив соответствующие наблюдённые и выравнивающие частоты. Если все наблюдённые частоты , то объединять разряды не нужно.

Вычисление
xi	59 и <	67	75	83	91	99
ni	5	12	38	27	13	5
	5	17	30	29	15	4
ni –	0	–5	8	–2	–2	1
	0	25	64	4	4	1
	0	1,47	2,13	0,14	0,27	0,25

Сложив числа, расположенные в последней строке, получим, что = 4,26.

После объединения число разрядов k стало равным 6. Число степеней свободы определяем по формуле ν = k – 3. Тогда ν = 6 – 3 = 3. В качестве уровня значимости возьмём α = 0,05. По таблице находим критическое значение , отвечающее данному уровню значимости и числу степеней свободы ν = 3, получаем = 7,8.

Поскольку 4,26 < 7,8, то есть < , нет оснований сомневаться в справедливости гипотезы H, так что гипотеза принимается.

Число степеней свободы	Уровни значимости
	0,05	0,025	0,01
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0	7,4 9,4 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5 21,9 23,3	9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2

81 – 90. Приведём пример решения аналогичной задачи.

Пусть α = 0,025; ; k = 8.

Если была выдвинута гипотеза о нормальном распределении с заранее заданными числовыми значениями a и σ, то ν = k – 1 = 8 – 1 = 7.

Тогда и гипотеза принимается, так как .

Если же в качестве a и σ были взяты, соответственно, и , то ν = k – 3 = 8 – 3 = 5.

Тогда и, поскольку , гипотеза отвергается.

Библиографический список

1. Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, «Высшая школа», 2000.

2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Высшая школа», 2001.

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, «Высшая школа», 2003.

4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Москва, «Наука», 2001.

5. Алексеева В. Е. и др. Элементы математической статистики. Л., РИО ЛТА, 1990.

Оглавление

Предисловие..............................................................................................3

Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».....................................................................3