§ 4. Нормальное распределение

y 1 x –1 1 Площадь фигуры равна .

Рассмотрим функцию . Эта функция чётная, её график симметричен относительно оси OY. Если провести её полное исследование, можно убедиться в том, что она имеет максимум в точке x = 0, точки x = –1 и x = 1 являются абсциссами точек перегиба, а прямая y = 0 – асимптотой.

y 1 x –1 1 Площадь фигуры равна единице.

Известно, что (интеграл Пуассона). Поэтому функция не может служить плотностью распределения случайной величины. Но если эту функцию разделить на , получится функция , которую можно рассматривать как плотность распределения некоторой непрерывной случайной величины, поскольку

О п р е д е л е н и е. Непрерывная случайная величина, имеющая в качестве плотности распределения функцию , называется нормированной нормальной случайной величиной.

Функция распределения нормированной нормальной случайной величины, , является первообразной для плотности распределения . Наряду с F(x), первообразной для φ(x) является интеграл с переменным верхним пределом . Этот интеграл является функцией аргумента x, обозначается через φ(x) и называется функцией Лапласа.²

Так как , F(x) = 0,5 + φ (x).

При помощи функции Лапласа можно найти вероятность попадания нормированной нормальной случайной величины X_НН (так мы будем обозначать нормированную нормальную случайную величину) в заданный интервал.

.

Можно показать, что функция Лапласа нечётная, то есть φ (–x) = – φ (x).

Ясно также, что φ (+∞) = = 0,5, а φ (– ∞) = – φ (+∞) = – 0,5.

Вычисления показывают, что математическое ожидание нормированной нормальной случайной величины равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице.

Нормированное нормальное распределение является частным случаем нормального распределения общего вида, которое определяется как распределение непрерывной случайной величины, имеющей в качестве плотности распределения функцию (a и σ – числа, σ > 0). Будем называть такую случайную величину нормальной и обозначать X_Н.

M [X_Н] = a, σ[X_Н] = σ. Соответствующие вычисления можно найти в учебниках по теории вероятностей.

Выведем формулу для вычисления вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал (, ).

Чтобы вычислить этот интеграл, сделаем замену переменных , при этом . Пределы интегрирования также изменятся. Получим интеграл , равный (по формуле Ньютона-Лейбница) разности . В итоге –

.

Приведём пример применения этой формулы.

.

По таблицам приближённых значений функции Лапласа , так что . Полученный результат часто называют правилом «трёх сигма»: вероятность того, что нормальная случайная величина отклонится от своего математического ожидания меньше, чем на три средних квадратических отклонения, практически равна единице.

y x 0 a–3σ a–σ a a+σ a+3σ

П лощадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху жирной частью графика, приближённо равна 0,9973.