§ 8. Статистические оценки параметров распределения

случайной величины

	x1	x2	...	xi	...	xk
P			...		...

На основе статистических данных невозможно точно определить параметры распределения. На практике неизвестные параметры распределения заменяются их статистическими оценками. В качестве статистических оценок параметров распределения случайной величины X берутся соответствующие параметры распределения специально построенной вспомогательной дискретной случайной величины , закон распределения которой получается из статистического ряда для X заменой частот на вероятности , равные относительным частотам .

Обозначим через , , и статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, соответственно. Тогда , , .

Вычисление статистических оценок упрощается, если ввести условные разряды (i=1, 2, …, k) по формуле (откуда ), где – так называемый «ложный ноль». В качестве «ложного нуля» обычно берут то x_i, которому соответствует наибольшая частота n_i, либо то x_i, которое находится в центре статистического ряда. Использование условных разрядов удобно в рассматриваемом нами случае равноотстоящих x_i, так как при этом являются последовательными целыми числами.

Подставим в формулу для вычисления вместо разряда его представление через ложный ноль и условный разряд, а именно . Тогда после преобразований получим , где – так называемый первый условный момент. Второй условный момент, , используется для выражения через условные моменты.

Таким образом, в условных разрядах вычисляется по формуле , тогда или , где σ – усло-вная оценка среднего квадратического отклонения, равная .

§ 9. Выравнивание статистического ряда

Пусть исследуемая случайная величина X непрерывна и имеет плотность распределения . Обозначим через (i = 1, 2, …, k) вероятность попадания значений случайной величины в интервал, соответствующий разряду . Теоретически n значений выборки должны распределиться по k интервалам пропорционально .

Числа , пропорциональные и дающие в сумме объём выборки n, назовём теоретическими или выравнивающими частотами.

Полагая (i =1, 2, …, k), мы удовлетворим требованию пропорциональности частот вероятностям . Но сумма может оказаться меньше, чем n, в силу того что разрядная сетка покрывает не всю числовую ось. Поэтому определим и несколько иначе, чем при 1<i<k. Положим , . Если же 1<i<k, то, как уже было сказано ранее, . В этом случае , значит, и .

Плавная кривая, соединяющая точки , называется выравнивающей кривой. Выравнивающую кривую строят обычно на том же чертеже, что и многоугольник частот. Это даёт наглядное представление о степени согласованности теоретических частот с наблюдёнными частотами n_i.

Как правило, ни плотность, ни закон распределения изучаемой случайной величины заранее неизвестны. Поэтому, прежде чем вычислять выравнивающие частоты, нужно сделать предположение о виде функции . В книгах по математической статистике можно найти описание различных распределений, используемых для выравнивания статистических рядов. Остановимся подробнее на вычислении выравнивающих частот при помощи нормального распределения.

Предположим, что исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным , и средним квадратическим отклонением, равным . Тогда = и значения вычисляются по формулам:

= ; = ;

= при 1 < i < k.

Учитывая, что и , значения можно вычислять в условных разрядах. Формулы для вычисления приобретают вид:

; ; при 1 < i < k.