§ 2. Формула Бернулли. Формула полной вероятности

Пусть проводится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Тогда вероятность того, что в этой серии событие A наступит ровно k раз, , вычисляется по формуле = , где , а q = 1 – p (напомним, что ). Эта формула называется формулой Бернулли.

Вычисляя p, если оно не дано, следует помнить, что p = P(A); а P(A) – это вероятность появления A при одном (отдельно взятом) испытании, так что числа n и k при вычислении p заведомо не следует использовать.

Формула полной вероятности, о которой речь пойдёт ниже, применяется чаще всего тогда, когда испытание состоит из двух этапов, причём интересующее нас событие A происходит (или не происходит) на последнем этапе. Применима формула полной вероятности и в той ситуации, когда любой исход испытания может быть охарактеризован с двух разных сторон, одна из которых (вторая) связана с появлением или непоявлением события A.

В обоих случаях рассматривается так называемая полная группа n попарно несовместных событий , называемых гипотезами (полнота группы означает, что , то есть хотя бы одна из гипотез обязательно имеет место). В первом случае – все исходы первого этапа испытания, во втором – соответствуют разным вариантам первой характеристики исхода испытания.

Вероятность события A в том и другом случаях может быть вычислена по формуле

,

где – вероятность появления события A при условии, что событие произошло. Эта формула и называется формулой полной вероятности.

§ 3. Случайные величины. Функция распределения и числовые

характеристики случайных величин

Величина, принимающая при каждом элементарном исходе испытания определённое значение, называется случайной величиной.

Функцией распределения случайной величины X называется функция , определяемая равенством .

Случайная величина называется дискретной, если её значения можно перенумеровать. Дискретные случайные величины обычно задаются своим

законом распределения.

законом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в первой строке которой перечислены значения случайной величины, а во второй – вероятности, с которыми эти значения принимаются.

закон распределения дискретной случайной величины с конечным числом значений имеет вид:

X	x1	x2	...	xi	...	xn
P	p1	p2	...	pi	...	pn

Здесь , i =1, 2, …, n.

Так как в результате испытания случайная величина обязательно принимает какое-нибудь значение, сумма всех вероятностей равна единице, то есть .

y 1 x … График функции распределения дискретной случайной величины.

функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной. При функция распределения равна нулю, при – единице. В точках, совпадающих со значениями случайной величины, функция распределения имеет скачки, равные вероятностям, с которыми эти значения принимаются.

Рассмотрим числовые характеристики дискретных случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми она эти значения принимает. Таким образом,

= .

дисперсией дискретной случайной величины X называется число, обозначаемое D[X ], которое вычисляется по формуле D[ X ] = M [ X ²] – M ² [ X ].

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением и обозначается через , .

Важным классом случайных величин являются непрерывные случайные величины.

Случайная величина X называется непрерывной, если существует такая неотрицательная функция , называемая плотностью распределения, что для любых чисел α и β (а также символов )¹ вероятность попадания значений случайной величины X в интервал (α, β) равна интегралу от плотности распределения по этому промежутку, то есть

.

y x α β

С геометрической точки зрения это означает, что вероятность попадания значений случайной величины X на интервал (α, β) численно равна пло-щади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности распределения, снизу осью OX, слева и справа прямыми x = α и x = β.

Т ак как событие достоверно, . Поэтому

По определению плотности распределения интеграл с переменным верхним пределом . Неравенства и имеют одинаковый смысл, поэтому . Но по определению функции распределения случайной величины, поэтому для непрерывной случайной величины .

В курсе математического анализа доказывается, что интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является первообразной для этой функции (теорема Барроу). Поэтому функция распределения является первообразной для плотности распределения на тех интервалах, на которых плотность распределения непрерывна. Это означает, что в точках непрерывности функции верно равенство .

Для непрерывных случайных величин, так же как и для дискретных, определены математическое ожидание и дисперсия:

, D[ X ] = M [ X ²] – M ² [ X ], где .

среднее квадратическое отклонение определяется той же формулой, что и для дискретных случайных величин, .