Теоретический минимум

§ 1. Вероятность случайного события

Исходными понятиями теории вероятностей являются: испытание, элементарный исход испытания, событие.

Испытание считается заданным, если описаны все его элементарные исходы (непосредственные результаты). Испытание всегда заканчивается одним и только одним из элементарных исходов, каким именно, зависит от случая. Испытание в принципе может быть повторено сколько угодно раз.

События, рассматриваемые в теории вероятностей, тесно связаны с элементарными исходами испытания. По отношению к любому событию точно определено, будет ли оно иметь место при данном элементарном исходе или нет. Так как исход испытания нельзя предсказать и, следовательно, заранее неизвестно, произойдёт или нет то или иное событие в результате испытания, события, о которых идёт речь в теории вероятностей, обычно называют случайными событиями.

Событие называется достоверным и обозначается через U, если оно имеет место при любом исходе данного испытания. Событие называется невозможным и обозначается через v, если оно не может произойти ни при каком исходе данного испытания. Два события называются несовместными, если они не могут появиться при одном и том же элементарном исходе испытания. Два события называются совместными, если можно указать хотя бы один элементарный исход испытания, при котором имеют место оба эти события.

A B

A+B

A B

AB

A

Суммой событий A и B (обозначение A+B) называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением событий A и B (обозначение AB) называется событие, состоящее в том, что происходят оба эти события, и событие A, и событие b. Отрицанием события A, или событием, противоположным событию A, называется событие, обозначаемое , и состоящее в том, что событие A не происходит.

Проиллюстрируем эти определения при помощи картинок. Пусть испытание состоит в том, что совершается точечный выстрел по прямоугольной мишени, попадание в которую гарантируется (поэтому сам прямоугольник символизирует достоверное событие U ). На мишени нарисованы два круга. Попадание в первый из них – событие A, во второй – событие B. На первой картинке заштрихована область, попадание в которую означает появление суммы событий A и B, на второй – так же, при помощи штриховки, изображается произведение событий A и B, на третьей – отрицание события A.

Очевидно, что события A и несовместны и что A + ₌ U.

Пример. Испытание состоит в бросании игральной кости – кубика, на гранях которого нанесены числа очков от 1 до 6. Испытание может закончиться одним из шести элементарных исходов: «1», «2», «3», «4», «5», «6». Обозначим через A событие, состоящее в выпадении чётного числа очков, через B – нечётного числа очков, через С – числа очков, делящегося на 3, через D – выпадение шестёрки. Событию A благоприятствуют элементарные исходы «2», «4», «6», событию B – «1», «3», «5», событию С – «3», «6», событие D совпадает с элементарным исходом «6». Очевидно, что события A и B несовместны, AB=v, A+B=U, ₌ B. Ясно также, что события A и С совместны и AС=D.

Существуют разные способы определения вероятности события. При любом из них вероятность события A представляет собой число, обозначаемое P(A) и удовлетворяющее следующим требованиям: ; ; ; при условии, что A и B несовместны.

Если элементарные исходы испытания равновозможны, а число их конечно, вероятность события A определяется формулой , где n – число всех элементарных исходов испытания, m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A. (Это определение называется классическим определением вероятности события.)

Например, вероятность выпадения двойки при бросании игральной кости равна 1/6, а вероятность наугад вытащить из урны красный шарик при условии, что в ней находится 3 красных и 4 синих, равна 3/7.

Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле . Для несовместных событий, как уже было сказано ранее, .

A B

A и B совместны

A B

A и B несовместны

Поясним эти формулы геометрически. Будем считать вероятность попадания в ту или иную область мишени пропорциональной площади этой области. На второй картинке площадь объединения кругов A и B равна сумме площадей этих кругов. Если же сложить площади кругов A и B, изображённых на первой картинке, площадь их пересечения сосчитается два раза. Поэтому, чтобы найти площадь объединения кругов, в этом случае нужно из суммы их площадей вычесть площадь их общей части. Так же обстоит дело с вероятностями соответствующих событий.

Так как , с одной стороны, и, с другой стороны, , вероятность события связана с вероятностью события A равенством , и, следовательно, P( ) = 1 – P(A).

События A и B называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей, то есть если P(AB) = P(A)P(B). Для произвольных событий A и B, имеющих ненулевую вероятность, вводится понятие условных вероятностей: P(A/B) – вероятность события A, при условии что B произошло, P(A/B) ; P(B/A) – вероятность B, при условии что A произошло, P(B/A) . Из этих определений следует, что . Для независимых событий условные вероятности совпадают, очевидно, с «безусловными».