Аппаратная функция
Как сказано выше, аппаратная функция - наблюдаемое распределение спектральной интенсивности на выходе прибора, если в него попадает строго монохроматическое излучение. Ширина аппаратной функции может быть принята за разрешающую способность спектрометра.
Определим
аппаратную функцию фурье – спектрометра.
Выражение для интерферограммы
монохроматического источника с частотой
(из свойств дельта – функции Дирака), а обратное преобразование:
Подставим одно в другое. С помощью формулы Эйлера, тригонометрических тождеств, а также принимая во внимание тот факт, что интеграл нечетной функции равен нулю, получаем:
Выполнив интегрирование, получим:
Первый член здесь значительно меньше второго, что можно показать. Пусть наименьшее волновое число равно нулю, в случае субмиллимитровой спектроскопии для источника с длиной волны 2 мм =30см-1. Предположим, необходимо умеренное разрешение, для чего достаточно оптической разности хода Lmax=5см. В этих условиях знаменатель первой дроби ~150, а числитель не может быть больше единицы, что означает, что первый член выражения меньше 0.01.
Второй
член достигает наибольшего значения
при
.
Поэтому спектр монохроматического
источника, полученный по интерферограмме,
зарегистрированной в конечных пределах
изменения оптической разности хода,
можно представить в виде:
- получили аппаратную функцию фурье – спектрометра. Она представлена на рисунке 2.
Видно, что бесконечно узкая на входе фурье – спектрометра монохроматическая спектральная линия приобрела вполне ощутимую ширину на выходе. Однако такая аппаратная функция не удобна, поскольку имеет глубокие побочные минимумы порядка 20% от максимума, что при регистрации спектра может привести к сильным искажениям формы близко расположенных линий. Во избежание искажений при обработке интерферограммы применяют математический прием, который носит название аподизации.
Аподизация
Основная цель приема аподизации заключается в получении однопиковой положительной аппаратной функции фурье – спектрометра. Процедура получения такой функции называется аподизацией.
Аподизация
может осуществляться как во время
получения интерферограммы, так и в
процессе ее математической обработки.
В последнем случае подынтегральное
выражение умножают на сглаживающую
функцию, наиболее простой из которых
является треугольная функция
.
В этом случае:
Используя формулу Эйлера, тригонометрические соотношения, принимая во внимание, что интеграл нечетной функции равен нулю, получаем:
Используя тригонометрическое тождество получаем:
Вид аппаратной функции, полученной при такой аподизации на рисунке 2. Применение треугольной аподизирующей функции несколько увеличивает ширину аппаратной функции, ухудшая спектральное разрешение прибора почти в два раза, однако форма ее заметно улучшается. В общем виде функция аподизации может быть введена следующим уравнением:
Если используется треугольная аподизация, форма аппаратной функции такая же, как у прибора с дифракционной решеткой. Ширина аппаратной функции определяет разрешающую способность прибора. При треугольной аподизации она равна примерно L-1 . Таким образом, разрешающая способность фурье – спектрометров, как и других оптических приборов, ограничивается максимальной разностью хода лучей.