2.2.4. Учет неидеальной упругости среды.

Как показано в работе /454 / дисперсионные зависимости для скоростей и декрементов затухания продольных и поперечных волн показывают хорошее согласие с экспериментом в области от сейсмо­логических до ультразвуковых частот. Там же получены значения комплексных волновых чисел КрСсо") и к^Ссо) (^см. формулы сД-58), (Д.53)) , когда в однородной среде раздельно распространяются Р или 5 волны. Однако при наклонном падении волн на границы слоис^ той среды в слоях существуют связанные сложными интегро-дифферен- циальными уравнениями продольные и поперечные колебания /146/, Решение этих уравнений в общем случае нельзя получить в квадрату­рах. Поэтому для исследования наклонного падения волн на границы слоев рассмотрим уравнение состояния среды с последействием, в котором для релаксационных модулей примем такую зависимость от вре­мени, для которой фурье-трансформанты удовлетворяют соотношени­ям С159).

Уравнение состояния однородной среды имеет вид /81/

-З/ад * Л&цСО, ,

(Я85)

¿кк³⁸ £>кад* с10а) , 1л.ъ->

где^и^-^/) и К (А,) - релаксационные модули сдвига и сжатия ;

= ⁺ сдвиговая деформация;

0 , 9^1-5 3 А

- %— + - диллатация; — = (3 .

ОХ, 9х_ь д^г,

Подставляя уравнение движения

ЭЬи _{в 0} Э^ии Зх^ " ь а^

в уравнение состояния (2.. 85) , получим волновое уравнение в виде

[кед зг-ад с?. 86)

Используя принцип причинности, согласно которому ¡XI = 0 ,

4 сао

применим Фурье-преобразование (."Ь-^с^О к . В полученном

- 88 -

уравнении сделаем замену Щ, = "7 У* , где и

У-СО^О) - фурье-трансформанты потенциалов смещения. Тогда для у и У^ будем иметь уравнения Гельмгольца

эе^Ссо)) = о,

где

Cv*- + Со») у « 0, ⁺ ^fo •

9L . Г Ы , . , AfrQwft Л

г. v Г ^ / / ж J &s_Cco)\l

Здесь для значений 1>_р (со} , Я^Сся), » как

указано выше принимаем зависимости С1-5^) . Будем считать /56, что в направлении оси затухание имеет пренебрежительно малое значение (в вертикальном направлении волны проходят намного большее расстояние, чем в горизонтальном). Тогда при подстановке комплексных скоростей Vp Ссо) _t \/s » определенных соотноше­ниями

CaJ СЛЭ

где

VpC"> VsC«) -^Х

вместо реальных скоростей распространения волн в формулы матрич­ного метода получаем решение задачи определения поля смещений на свободной границе неидеально-упругого слоисто-неоднородного полу­пространства с локальными неоднородностями.

- 89 -

2.2.5. Определение поля смещений на свободной границе,

когда источник находится внутри полупространства.

Б сейсмологии регистрируются сейсмограммы на свободной гра­нице, в то время как источники колебаний находятся в недрах Зем­ли. Для того, чтобы промоделировать процесс распространения сей­смических волн в таком случае, поместим источник колебаний на границу N-4. полупространства. Тогда, исходя из

принципа суперпозиции для уравнения Гельмгольца, будем иметь

Учитывая условия на свободной поверхности ¿^(.к^©)- ¿^С*, и принцип причинности (волны не могут прийти из бесконечности):

9; = у; =0,

из (£.£¿0 получим

— со

ил.

Г.

ОС

иС' Ск, ад

■чСг

'X

а

44

Н-4Л

* а

После подстановки поля ^Ои'^Ос,^ ^из ^^^ ^в (£.59)

определим поле фурье-трансформант смещения-напряжения на границе 2.о, рассеянного в слоисто-неоднородном полупространстве.

Выводы.

Получено решение задачи расчета сейсмограмм на свободной

границе неидеально-упругой горизонтально-слоистой локально-неодно­родной модели среды, когда источник находится на - ой границе СО ^ 5 - имеющее следующие преимущества: алгоритм расчета

более быстрый по сравнению с предложенным в работе / 19 /, так как элементы результирующей матрицы вычисляются по рекуррентным формулам; матрица Т\,+4 пли , в случае идеально-упру­

гой среды, рассчитывается один раз для всего спектра частот; от­сутствуют вычислительные погрешности при углах падения волн, опре­деляемых неравенством СЗ-.б^). Экономичность алгоритма увеличи­вается в результате аппроксимации границ неоднородности кусочно­-прямолинейной функцией, а также за счет излучения источником им­пульсной плоской волны, выбора спектральной характеристики источ­ника и характеристики направленности приемника.

Метод позволяет выделить обменные или монотипные волны за­данной кратности отражения и преломления, учитывать свободную границу полупространства, разделять однородные и неоднородные волны на сейсмограммах.

- 91 -