2.1.3. Выделение волн заданной кратности отражения и преломления.

С учетом условия равенства напряжений и смещений на границах слоев и формул (£. 15), (£..41) получим

Фу*, о* » йсьг^-ч. ся.2,5)

где

или

№

гл. / » Ы.

^ ул-Н, ^ ~ , ~ /¡Рт. *

Для изучения отражения и преломления волн в - ом слое

и на кн. - ой границе запишем

- 56 -

Введем коэффициенты отражения для волн, распространяющихся вниз по слою (от свободной границы) ^ и вверх -

и аналогичные коэффициенты преломления ** и -ЬЦ^' ,

устанавливающие связь между фурье-образами потенциалов волн из СЯИ)в виде

Ф⁺ - Ч>~ = •г,?"¹'"" сЗ ⁺

са.ав)

При помощи С2.-2.5), С^.^б) для г^) получаем

т-4,т _у %-А

I. - ^ - у^ т^,» ,

СХС^гА-» . 2-УУО =

. (Я.М)

Хио ~ ¿в ^в ; ¿и, I ев )

¡аГ^тГ

Подставив (.2,. £.5) в » получим рекуррентные соотноше­

(Ха

ния для коэффициентов отражения-преломления:

■О, "Ъ® С.ЪЗ> ; ^ )

1

где

т.—(,т-Н т^тЧЧу . т-4,т т,»п-Ну* , »п,

"^г1> ^ъ г₀ ) -Ьь ,

пл-Ч, »уЩ пг, М.+4 , кп, т.+4 т-1,1н

"Си/ ~ и.

се.."50)

+"Ь|> г и, СД-^ Ъи, 3 "Ьи ,

■Ьо

г,

ии

= -и (Л - ъ

и. (Л - ^и, ) "Ь,

Ум-Л, »VI »Л/

тил. . ил.

т—»м.

1

-с

и«

Явные выражения для

- 57 -

имеем из С^аЗ), С&.&6) и (£,.2.3)

^ ⁾ %<

или

,„_Р , (.<-а.¹^),,,р ..<• ч ^.к« = - —^с 20

= аъоЬ и, . 26

о Чу¹ 70

-ЭлСа^Эл-авЭхх-авс^! о 71

А. <и 79

₊ = о, am) 102

СЯ.Ъ2.) 166

с - т_и т_н,Ек-чХм "^н-гЕ-н-г-ТУг• • • 170

- Э* - А ЬгмсГ о 197

⁼ ^ , V, ^в . 250

Фь ^в ь® Ф-; 265

т„ =Мгг. -Мм СМ,; ) , Т. -См«, ) 274

т'""^1,1 = г:' 294

~ {.^ос СК, Lt^CK.i-o.Co), 325

иодМ^Шт^в ю.п. 505

(2..51)

А - _?

ум-А-Ч« (л*. уу\,

4- К.

е^ = ехр С-а^^сЫ.

Таким образом используя формулы С^.-'ЬО) , О^-Ы) _{% а} потом и (£..£.9) мы можем пересчитать вектор Ф^.^) с одной произ­вольной границы на другую.

Рассмотрим теперь, как при помощи рекуррентных соотношений (2..50) можно выделять отражения заданных кратностей. За набег фазы в слое отвечают экспоненциальные множители в (Я-'Ь!) за отражение и преломление в этой же формуле - дробные выражения. Поэтому из(2-.6\(2-10),(£Я)

следует, что, например, коэффициент

. ил/

отражения с.]) описывает прохождение волной т -го слоя

вниз, отражение от гл* - ой и возвращение к (^ ~ 1) - ой границе и т.д. Физическое содержание коэффициентов

1 Ил. Э ъз, демонстрируется на рис.Эа, где для наглядно-

т-1, ш

ТТ1- i

г*

г

т-1, тп

га.

(т)

а

т.

а

т-1 ч*

Е

(тп+1)

т-1.

- V	\ гпИ.тп г тг	1\ т-1. т. и» \ вц, у	Л»-!. Ли.
	\ тг,	/ \ /
т+1	У
т + 2

И

т- (

Ст) то,	1 ТП-1, «л и* \ ттН.тп гпН, 1 \ г и.	/ »вИ, тп ГЛ / "Ьц.
СЪ + 1)	\ / \ Г\ /
■т. 41
т +4 '

III

Рис. 5 а/ физическое содержание коэффициентов » ^

^-ч,«^ а**"***^ _бу х п ш - одно-, дво- и трех-кратно отраженные волны в -ом слое. Лдя наглядности показа­

но наклонное распространение лучей.

сти вместо нормального показано наклонное падение лучей. Вчаст- ности, если в (£.'51) и положить -О,

получим коэффициенты отражения-преломления для двух идеально- упругих полупространств при нормальном падении на границу плоской волны /{кб/. Далее формулы (.^ЗО) запишем в виде

р «о

Л 0° п

т+4 цл, е-» . уъ, т-н V«

Т. а * ⁺ ¿^Хкх, * г_ъ ,

Р=о

СЯ.Ъ2.)

"Ьц, ⁼ Оии /1л ^ г Ъа ) X,

Рассмотрим первое из уравнений (.2..32,). Положим р- 0 , тогда при отражении получим волну, которая прошла пх -ый слой в прямом и обратном направлении, отразившись от *гь-ой границы, плюс однократную волну (I, рис. 56 ) , прошедшую уу1 - ый и(ул+"()-ый слои, преломленную два раза на кгъ-ой и отразив­шуюся один раз на(.го."Н)-ой границе. Если положить р = { ,то во втором слагаемом (Д.ЗЗ.) дополнительно будем иметь отражение от Их -ой границы при падении снизу и в результате - двойное прохождение в прямом и обратном направлении(ин4)-го слоя - двукрат­ную волну (^11 , рис. ) и т.д. Рекуррентные формулы для -> Ъ-ь , Х/ц, работают аналогично.

Из следует, что ошибка, получающаяся при отбрасыва­

е — г

нии волн, кратностей К ^ М , будет

I т, т.-И \ ^ -

| . ©ЛЯ)

Поэтому при расчете с точностью 2 амплитуды волн с к ^ И » где М ~ " И, £/ ЦЬ | ^ ио \ нельзя будет различить из-

за помех.

2.1.4. Определение поля смещения-напряжения, когда источник и приемник находятся на разных границах.

С помощью матрицы а и ) , определенной в преды­

дущем подразделе, найдем вектор смещения-напряжения ,

когда он задан на границе 0 ^ 5> ^ полупространства.

Проведем обращение матрицы

г^) из С&.2.5) :

и введем обозначение

В_с =

тогда исходя из принципа суперпозиции для уравнения Гельмголь- ца 7) , запишем

БгС^О = А- Вв^^+Ь Во , Фнин-О^С-ВБСго + ф-Во ,

где

•-< -г _

и и и

О-Сг^г^-О аи-г^Ег-О QLCi.su, г

" • —1- - VI

-ч

с - т_и т_н,Ек-чХм "^н-гЕ-н-г-ТУг• • •

V —у ^ у ^{л 1} м

и И И

"V"

и

-<

0. и к-< > и и , г, м-2>}

ч _

V— —^ ^{м 1} V ^ ⁴ V '

II И »

*^а С**!*, ЪмпЗ '(Кг«^. г

Исключим из уравнений (£.1Ь5) с учетом условия на свободной

о

= 0

М -

границе & получим

ом слое

и в

У/2 0 для В_гсг_г)

Си
	й 1.

-ч

г-» I

6

где

Покажем теперь как оптимально рассчитать вектор

Матрицы А, В, С и Я) , когда-2-г> ^з, рассчитываются при помощи Ок^-т-Л^из СЪ-Ък) • Вид.этой матрицы найдем обратив 0.(2-^.-4,из С.г.,66) и СО-. • В результате обращения бу­дем иметь

I

л к

+ 9»—' в^-чО^-ЛУм. ⁺

I / , **»-4, ИЛ,

/■. тЧ.уч, \-1

Охи, )

I - ("Ьи, ) Ъ 1)

- V

чх

и.

и.

'и.

и.

IX

В случае, когда на сейсмограмме учитываются все волны, матри­цы Ол^г, 2-е'), ОЛг-км, Q-C.-Z.tj-4,

целесообразно рассчитывать по формулам (£.5?), С 2,. 55^ . При этом следует иметь в виду равенство элементов по обеим диагоналям в (2.-3^0 , если " Когда же необходимо выделить крат­ные волны, пользуемся рекуррентным соотношением (£.32.) . Заме­тим, что суммы в выражениях для ^и, , Хи, и

в Сравны между собой. Если в некотором проме­жуточном слое учитываются все кратности, тогда вычисления произво­дим по формулам (2-^0) .

Когда среда идеально-упругая, зависимость ,

Ил-4, 1л«. . ,мЧ,И4 , г ГУ -7 Л

, Хи, , х_ь , и от со в формулах (З^б) , (сЬ.М) , (Я.Ъ1) имеем только в экспоненциальных множителях, поэтому осталь­ные элементы можно рассчитать один раз для всех значений частоты.

Наконец для каждого конкретного расположения источника и при­

емника можно представить решение с помощью элементов матрицы

коэффициентов отражения и преломления. Так, например, для случая когда = _& - 2. о , из имеем

/-.со о,м-< , до ^м"'¹ , х^с<<> 7 ^

» Л®' Гх^ ^о.И, , И) V О.*"'¹ , д.^ ' Д,

® Уць ⁺ -Ь« ^ яг. 3 1 ^ьь ) ¿гг

р = 0 ->

Решение в виде (2,. 58) дает возможность выделять кратные отражения от всего слоистого полупространства, аналогично тому, как это имело место для отдельного слоя в С2.."5 2,) .Переход от СО к -в в (£.36), С2.-58) осуществляется по формуле аналогичной с использованием алгоритма БПФ :

-СЭс.

С помощью вышеизложенной задачи в третьем разделе изучается распространение Р волн нормально к границам параллельно-слоистого полупространства. При наклонном падении плоских волн возникают об­менные эффекты. В этом случае среду уже нельзя моделировать при помощи решения одномерной задачи.С целью изучения падения плоских волн под произвольными углами на границы слоев в следующем подраз­деле приведено решение двумерной задачи о распространении волн в слоисто-неоднородном полупространстве.

- 64 -

2.2. Распространение волн, возбужденных сосредоточенным источником, в слоисто-неоднородном полупространстве.

2.2.1. Постановка и решение задачи о нахождении волнового поля, рассеянного на неоднородности в слое.

В работах Ратниковои Л.И. и Левшина А.Л. /52. -г 58/ иссле­довано падение плоской волны из бесконечности на неидеально-упру­гую слоистую среду, при этом комплексируются лучевой и матричный методы /55 /. Молотковым Л.А. изучены колебания, возникающие в слоистой среде при распространении поля смещения-напряжения в об­ласти предельных углов, а также в диапазоне частот и волновых чи­сел, отвечающих образованию однородных и неоднородных волн / Цк -г 51/. Им же получены формулы, с помощью которых можно выделять кратные отражения и их типы на сейсмограммах В / А А-г 51/

использован разработанный Молотковым Л.А. математический аппарат минорных матриц пятого порядка. Однако, в упомянутых работах не решена задача нахождения волнового поля на свободной границе, рассеянного локальными неоднородностями горизонтально-слоистого полупространства, когда источник находится внутри или на свобод­ной границе. В такой среде не исследованы отражения различных кратностей и обменные явления. С помощью предложенных в /55, 56, 60, алгоритмов нельзя также рассчитывать теоретические сей­смограммы рассеяний для объемных и неоднородных волн одновремен­но. Решения в /(¿Ъ^ 65/ построены в цилиндрических координатах, что не дает возможности использовать алгоритм БПФ / 4А5 /. Из-за отсутствия ответов на приведенные вопросы существенно снижается эффективность методики интерпретации данных сейсмологии и сейсмо­разведки.

Из вышесказанного следует физическая постановка задачи:

построить решение задачи определения поля смещений в слоисто-не­однородном полупространстве, когда импульсный источник находится на одной из границ, приемник - на свободной границе; выделить рас­сеяния нужной кратности, монотипные и обменные волны, получить устойчивое решение при всех углах падения плоских волн, образую­щих фронт рассеянного поля на неоднородных слоях.

Будем исследовать распространение Р-^Х/, бН волн в изотроп­ном идеально-упругом неоднородном горизонтально-слоистом полупро­странстве, для которого ^соот~ ветственно мощность, плотность, скорости продольных и поперечных волн т.-го слоя ... , Ю , а нижний слой - однородный и по­лубесконечный. В одном из слоев находится поперечная неоднород-

^ гч,

ность с параметрами ^Сх.О = ^Срс,^, Я/р^ (ос,?.) = (рс.О,,

С4 * ь<Ы) /рис.6/.

Уравнение движения и закон Г-ука для О -го неоднородного слоя имеют вид / /:

, (¿ЪЧ)

Эхе

/здесь подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу/

<2$ = + й/Ч С*, г) а■ ь , (ЯАО)

^ще цСО .

дац/.

Л-с № Ю - &.С*. г){[>р^ос,г)]²^^сое^^ЛУ-Зс^гШ^у^-

константы Ламе; - компоненты вектора смещений и тен­

зора напряжений по осям X , 2 /рис.6/.

Уравнение должно удовлетворять принципу излучения

л СО

Зоммерфельда,'из чего следует

= О . (Я.М)

-с* о°

■ь^о

I

П

{О

р« (г). % си Я* (г)

С")

(и

Я (1), ГМг), «1Л*)

I

(1)

«и

Рис. 6. -Модель горизокталы-ю-слонстого полупространства, в Ь-оь: слое которого находится горизонтальная неоднородность с пара метра!.. , ^¡.срс.г) и

г;.

прашшяк размерены на свободой грашще в точках

- 67 -

Ъъ

где

Для получения исходного уравнения матричного метода /60/ применим к (£/59), 40) преобразование Фурье от времени "Ь к угловой частоте со , тогда с учетом С«-. 41) систему (ХЪ^гСЯМО) можно записать в виде

В; Сое,С0С,1О Е>(. С2С, , 0 = М-1>

матрица-столбец, опреде-

ляющая Фурье-трансформанты поля смещения-напряжения в среде,

Ас Сред)- операторная матрица, аналогичная С1.^), С1-"54) : в случае

волн

о

"Эх

I

о

О

О

I

! о

(2Ли ~ 1) 3» О

, ^ = А §1С О <£ ), З_х= Ъ/дъ ;

г.

А^сл«) -

ДЛЯ 5Н волн

о

- Э* - А ЬгмсГ о

Задача решается при следующих краевых условиях: - на границах слоев / в дальнейшем нижние индексы в ВIС³^) для кратности опустим/

на свободной поверхности

V и**'*

В сад «

где напряжения заданы, а смещения необходимо определить; - на бесконечности и при < О

= 0

ВСх.«

= ЬСэс,«

г = оо

и при условиях на параметры, находящейся в О -ом слое неоднород­ности, соответственно для р- £>\/ и £>Н волн

аО

Не и

я%* ° Ж ^ир;-

9Ь

Кл Йр. 1 > «а,* К

Здесь

6р_с * Бар

5

ос

оо -С ехэ

оо < "2. <1 Оо

<4 - & - , <х₆= §>. сад - ^ ,

«К =

~ усредненная скорость поперечных волн в и -ом слое;

К₀ - проекция на ось X. волнового числа плоской волны, падающей на неоднородность; Не , - максимальные вертикальный и горизонтальный размеры неоднородности; , - усреднен­

ные коэффициенты Ламе и плотность слоя, содержащего неоднород­ность.

Математическая постановка задачи: определить поле смещений

ШСХп^о^^^эсСЭСп.^Л), а^СХп^оЛ), ШгС^п.^оЛ)^

из уравнений С&.ЗЗ), (ЯЛО) при условиях

когда на свободной границе 2.₀ задан источник поля напряжений

Решение этой задачи получено Кеннетом /60 /. На основании его автором /40/ предложена методика расчета сейсмограмм от слабоконтрастных упругих включений в слоистом горизонтально- од­нородном полупространстве.

Следуя /40/ будем считать, что латеральная неоднородность заключена только в одном Ь -ом слое. Предположим, что нам извест­но поле б^СК.Х^) в необходимо определить поле Б^ (.К Согласно (Д.для этого нужно знать поле латерально-однород- • ной среды В° , зависящее от глубины внутри и -го слоя . Учитывая рекуррентные свойства пропагаторов /14/ , получим

Р Ск, , г-.о в\к, г^г) ^{я 81} Рск,*,*^)... РСк,£<. г_с) В° Ск.г-о) .

Тогда для I» -го слоя

гс к«

+ (ЦМ6)

где

в° Ц, г) - г, , г г.)В° Ц. г_с),

¿ч (Я.«)

I^м

В> (Л, £<0 - функция источника колебаний;

- Рс*> г.о, го вЧк, г,), сгле>)

В⁴ ск, г см, гм-ч)ВЧк, г _н-0 .

Б случае волн задачу определения поля ^»»-л ^

в N -ом однородном слое решаем при помощи потенциалов продоль­ных _? и поперечных ^ волн из СДЛ5) г

В^А Ск, ^{= т}н СЮ Фк и км), (я.50)

где ф_н определяются формулами СИб),С1Щ(1.19)>

при условии, что в Туъ из С1.19) переставлены местами 3 и 4 строчки. Такая перестановка следует из того, что в векторах

из С1Л1) и Вр С ^из Cl.bG) переставле­ны местами продольное и сдвиговое напряжения. На бесконечности волны возникнуть не могут, поэтому потенциалы , У»

,„_Р , (.<-а.¹^),,,р ..<• ч ^.к« = - —^с 20

= аъоЬ и, . 26

о Чу¹ 70

-ЭлСа^Эл-авЭхх-авс^! о 71

А. <и 79

₊ = о, am) 102

СЯ.Ъ2.) 166

с - т_и т_н,Ек-чХм "^н-гЕ-н-г-ТУг• • • 170

- Э* - А ЬгмсГ о 197

⁼ ^ , V, ^в . 250

Фь ^в ь® Ф-; 265

т„ =Мгг. -Мм СМ,; ) , Т. -См«, ) 274

т'""^1,1 = г:' 294

~ {.^ос СК, Lt^CK.i-o.Co), 325

иодМ^Шт^в ю.п. 505

матрица Ср^ Ск., совпадает с Ср Ск, г.) из (1.56) ,

если Ср С К, определяется плотностью и скоростями продоль­

ных и поперечных волн I -го слоя (х, , Сх, г.) ,

Введем обозначения £ 00 ^г Р^к, ^-о, £м-ОТ_м СЮ ,

гн "Ко

Нею =

где % и, 1 = 1,- подматрицы порядка 2x2.

т

Учитывая, что напряжение , 0Х,т_о)]

на свободной поверхности равно нулю, для Фурье-трансформант ком-

Гсо - со 1^Т

понент смещения рассеянного поля \Х_Л СК,£_в) , Ск,

получим:

	0
	0
	Ун"

•г'ь

ск,

г.^сл>

а - ск, ад

Я

и

О О

г*

•• ^м ЛГ

Определим £ ^^ _> ] из третьего и четвертого уравне­

ний С2.-55} и подставим в первое и второе, будем иметь

ск, £<,:>

(£.34)

чх

¿ц

ск, Ьо)

Лдя волн по аналопш с ( 2-.5~5) имеем

	0
т	Ун ) ¿н

0

дг

гл.

Я

гдеСУц^зи" потенциал ¿Н -волну , распространяющейся в N -ом однородном слое в направлении оси тЕ. ; матрицы

а

гл

Я сю =

и

Оч г 5Н

Б сю =

определяются если в ^СО ^и ¿00 из положить вместо

матрицы Ср₁ матрицу С ^из Ci.bG) ; матрицы-пропагаторы в случае однородных слоев выписать из работы /60/.

Исключим СУы ) sh ¹¹³ последнего матричного равенства, получим

-С« n ^SH / гч ЬИ и SH ^ SH

Для получения смещения на поверхности слоистого полупрост­ранства как функции координаты Хп и времени "Ь осталось выпол­нить .двумерное обратное преобразование Фурье формул (2,-54) и (2.-55), при этом область интегрирования по СО и К может быть сужена выбором конкретного диапазона их значений.

Б случае однородных слоев элементы пропагатора Р(к, 2. „л

> • )

можно получить при помощи матрицы Огнь из (.1.2*8 (1.2.9) , так как по определению пропагаторов /11/ ,

<30

Ы.

дг.^0 г⁴

о=>

х -

yw

Здесь в необходимо переставить местами 3 и 4 строчки и 3

и 4 столбцы. Вектор-столбец В°(К,2.₀)из (2-^1) , определяющий В° (.^,2.©") ^в получаем с помощью (1. £>1) , когда на сво­

бодной границе заданы фурье-трансформанты компонент напряжения

СЯ.55^

т Г-чСе) 1,

"ТС«»

- te>

(а.66)

d.ei R^

с к, £о)

С*»

поле 5Н - ^волн имеет аналогичный вид /gО/:

U^' (К, Zo) - CRjE /£Тг) c^ ,

Г.

Заметим, однако, что расчет по формулам (2..6Ю, (£,.56) обладает вычислительной погрешностью, когда фазовая скорость-по оси X

<£,г Со/К и скорости распространения Р и ^ волн ЧЗр^ и удовлетворяют неравенствам

>SH

(¡а.51)

Действительно, произведение

ьч

К. о

представляет собой матрицу, составленную из миноров матрицы которые согласно формуле (Я.54) делятся на минор

С1е1

Следуя СШ). , , представим К. в виде

Б случае, когда имеет место неравенство (0..51) , одна из экспо­нент в матрице Е»^ , 1 ^ ^ Ь1-1 из (.1.2.&.) может увели­читься настолько, что при выполнении арифметических операций на ЭВМ остальные три экспоненты выходят за пределы разрядной сетки. Б результате ранг матрицы и матриц и 2>Ск)»

лг.

куда Б*! входит как сомножитель, становится равным единице. Тогда в формулах (£..54) , (Я.56) имеем неопределенность типа

0/0 , так как входящие в нее субдетерминанты матрицы & равны нулю.

2.2.2. Определение волнового' поля, рассеянного на

локальных невзаимодействующих неоднородностях.

Предположим, что локальные неоднородности располагаются в каждом слое и рассеянное поле » наблюдаемое

где Сое, "Ь) ~ поле, рассеянное на неоднородности в и -ом слое (/с= М-1) и определяемое через поле

Е? Срс»^ , "О Для однородных слоев. Неравенство (Д.41) по­лучено Кеннетом /60/ из условия того, что интеграл от В* в С 1.46) пренебрежительно малая величина. Следуя (Д-48) будем считать, что горизонтально-неоднородный слой имеет протяженность от *Е₀ До разделим его на Ы-1 слоев так, что суммарная

площадь латеральных неоднородностей в каждом из них Не 1-1 Пусть (Хъ» 6 из 45} максимальные отклонения "мер

неоднородности" /60/ в этих слоях, тогда из (Я-45) для .

Р- и волн имеем

где

= ьар , = Ьирб^ , О/М),

сумшрная площадь неоднородностей в N -1

слоях.

на свободной границе, есть векторная сумма полей, рассеянных на каждой неоднородности

Применим принцип суперпозиции к уравнениюСЯЗ¹»), (2.55). Тогда для рассеянного поля смещения-напряжения на М-1 невзаимодейству­ющих горизонтально-неоднородных слоях получаем выражение

Г.	2-е)		■а»		¿4 "
с к,		¿е^Ягг	ц

<х ад - сС ) ~ .

⁼ ^ , V, ^в .

Уравнение (£"56) остается без изменения. Расчет 4-кратного интеграла по формулам (0,.52<), (.2-. 59) очень трудоемкий, что уменьшает возможности учета неоднородности среды. С целью упро­щения выражения для 5 ОО из (.2.-52.) представим напряжение в источнике в виде плоской волны

(Я.бО)

Оь²*) - бХ^- к.®) (Ьуг СКо.^о),

где ^С^-^о) - <3*-функция Дирака. При помощи (У-функции сни­мается интеграл по переменной интегрирования в С2.-52-) .

где

Для пересчета матрицы-столбца потенциалов (Ж) с Ь-ой границы на (.^-1) согласно (Д. >(1), (1.48), £4). (Я- ^Ь) запишем соотношение

Ф;. Сг-и-О = 0- . г-0 Фсм СъО , (Я-⁶¹)

и.Сг.-_<..4,гО=Е(.к,г.₁._<-г.оТсю Т_и4 Ск),

С2..5®

(Ц - г-1 - 1-,-А Ф_ь Сг-1-Л = , ФГ ]^Т ?

- 77 -

К_Р1 - определяются формулой С*. 15) ; ф* =1

- матрица потенциалов продольных и поперечных волн, распространя­ющихся вдоль, положительного направления оси 2- ;

- , - матрица волн, распространяющихся в обрат­

ном направлении.

Тогда, воспользовавшись С&.-&0), С2-. 61)и приняв во внимание

РСк,а.₀, г.,-,) Рск,е_1ч>г)= [цРск.-г-г^.г

⁼ [ ПТг ск) Еск, £_гн - г_г)Т_г" ^<уо]т₍.(.юЕ г ^ - гоТДк),

из 52-) получим

л < -о

где

М Ск, Ко, гь-О -Т^ сю Т_с сю .

¿1-4

i

ОЛКо, П &Ск_с, г^.ее-О,

¿=1-4

О. с.<, го = П >

Произведение Т^Т^» Т_г^_чТ_{г ?} входящее в формулы

(Я. 62-) -5- Сг.бЦ), согласно (.1.19), не зависит от ,

поэтому его можно считать один раз для всего спектра частот.

, (Я.65)

Предположим, что неоднородности имеют форму выпуклых вклю­чений, ограниченных кусочно-прямолинейными границами

ос 09 ^г 2-

где 5^е 1 отвечает левым границам, 2>= - правым границам включений. И 0*0 - единичная функция Хевисайда. Углы между отрезками, образующими включения, и осью X отсчитываются про­тив часовой стрелки. Тогда для левых границ имеем

Яг

о < я ^ *

£ ^ % с ,

для правых

^ ^ а> <$■ ,

Здесь П. § - количество отрезков, образующих границы.

Для принятой формы неоднородности (.2.-€5) и матрицы С^О^К-о), имеющей согласно (ДЬ6) всего шесть элементов отличных от нуля в случае волн Р- 6>\/ и два элемента не рав­ных нулю для волн ВН , интегралы (Я.СЪ)и (Х^Ос-^ г.) в (.1.56) получаем в квадратурах.

- 79 -

2.2.3. Выделение кратных и обменных волн, рассеянных

в неоднородных слоях.

С целью изучения распространения волн в прямом и обратном

и—1,1 Т>

'и.

направлении вдоль оси преломления в слое ^

гичные коэффициентам

т,

введем матрицы-коэ^теициенты отражения-

ь-4, ь

т,

анало- для

у^.Ч, г*. . УМ.--1, Г** по ^

-ь

1с

-ь

одномерного случая (/2.. 2.8)

Т ^ гЛ*"^

1-1,1 и, ср.

и/ о ,

Ф? " С^1,

ф* ф^ =т

где ' - описывает распространение волны от (1-1)-оиграницы вниз по о -му слою, отражение от ь-ой границы и распростране­ние к С^"IVой границе £рис. 5а) , - отражение от и-ой

* 1 * • . *

ТС "1|1. — С

1> > То, характеризуют прохождение и -го слоя и преломление на и -ой границе в прямом и обратном направле­ниях вдоль оси .

Физический смысл элементов матричных коэффициентов отражения- преломления рассмотрим на примере матрицы ** . Первое из

уравнений С&.бв) запишем аналогично случаю латерально-однород- ной среды /кЧ/ в виде

_ I» 1-й - ъ

Фь ^в ь® Ф-;

%	■я
У*.

	сЪ ~
	Ус

^Ъ рр

Коэффициент X.

преобразует потенциал Р- волны, за­

данной на О-**}-ой границе, в потенциал Р- волны на той

сО

же границе; коэффициент преобразует волну (.У^*) в

волну Си т.д. Если положить в ^ О , то из

поля отражений и -го слоя исключаются РР-волны, в случае - отсутствуют вР - волны. Вчастности, полагая ^Ъь ^{= =} - ^ ^для ^ - 11/ верхних слоев С п. - 1,

..., 1) получаем решение методом отражений /148/. Отличие данного подхода от метода отражений заключается в том, что здесь учитывается эффект свободной поверхности.

Если использовать векторы потенциалов, матрицу &(Ди-ь^О из С£->б1) и формулы СЯ-66) получаем аналитические выражения для К} , »х) , > 'и, через четыре подматри­

СЯ.68)

цы размерности 2*2 матрицы ^-О

⁼ Си,«. ) , Кии ^яЧ«-гг ) ,

1т> ч^гг / ,

оС" а'

чч

\ь

ОКДь-.. ^гО -

а¹

гх

Аналогичное соотношение получим для слоя с горизонтальной неоднородностью. Для этого запишем выражение матричных коэффи­циентов отражения и преломления К^ К и, , Т^ , Ти. через элементы матрицы GK.li, ^-и-О ⁼ О^Сг-ьн* £1)

се. 69)

= - СйГТоГГ , ^-а^ГТ,

тГ¹ ■ ей⁴ - а⁴-"

- 81 -
а"'1""

Тогда при помощи матрицы М , определенной в С&..65), получаем уравнения аналогичные

&Х> ⁼ ) , Я и. -П^ Ч.М44 / ,

т„ =Мгг. -Мм СМ,; ) , Т. -См«, )

• « < с» иМ

И

М

Мы

П.

• « а

ML.tt.-l

гл.

* 4 С

Матрица Яв * в этом случае описывает рассеяние при распро­странении волны в V, -ом слое отСс-Оой границы , отражение от Ь-ой и распространение к -ой границе, и т.д.

С целью установления рекуррентных соотношений для пересчета

в.'

т.

т,

и.

^«--4,0 —.1.-4,и

с и -о и границы на Си-Ою по

формуле С2..62) представим ^в виде

. (&Л1)

С учетом выражения С^-.бЮ Для СХ , ^имеем

Подставив в получим рекуррентные соотношения

для матричных коэффициентов отражения-преломления

-1 -р. ь, IчЧ

•Д/

Е. ⁸

С" - С⁺тГУГЪ - С' й^иТ т;-^,

саль)

ИИ]-.

где (Л-+ 1) " индексы, указывающие на принадлежность матрщ-коэдфициентов отражения-преломления границам слоев. Заметим, что в выражениях С&Д^О глатрицы в квадратных скобках невырождены. Докажем это. Введем обозначения

ехр СкР1 ±1)	0		"о о"
		1
	т*	/	-0 0,

и, с

а;;

(ЗЛЮ

з

а¹""

а

Ол^^О *ТС^Ч т,

о + Ч

тогда из 61") имеем

Ё"¹

¹— с

а":

2. Е_ч

14

и

а

гл

а'

V

О- с г. 1-4,2.0*

Еь О-ад.

Ё, сГ

гл

ИЗ

с^-со^У¹^;,

С2Л5)

= и

1» — с ч

где

— С «И» С Я / л ц''

т'""^1,1 = г:'

«и/ I— о ¹ у

аде)

Та, ⁼ О,.« - О-ю. СО-ц.) о.^ .

С помощью (.2,. 15)выражения в квадратных скобках С2.. 15)предста­вим в виде

I - Р.

Л.

= тчс^Ё-ЛС^'^Ё.;⁴⁴) ,

(Я/П)

и,

1-я

Здесь

Л'О

со

, сада)

Ои.

9Ъ

'Г9

где

■ со

согласно (£..€6), С2..61) матрща , определяющая коэффициенты отражения Р и 3 ^{волн на} 1/-ой границе, при падении волны на границу против оси £ . Из (ЯЛ^Хй.ЧЯ)¹'¹ формул определяющих Кр^ и в (Д. 15) следует, что матричные произведения в

круглых скобках невырождены для всего диапазона изменения Со и К , вчастности, когда имеют место неравенства (.2.. 51) .

Для расчета матрицы О^С^^-ч, "2.с) запишем ее в виде

со

г^рр екрС-к_?1 <10 Чо'рь ехр(г¿0 ехрС- кл. ¿О ^е*Р Сг АО

Патрица 0,02.1-4. 2-1.) ' представленная в виде 9) > не

,—\ о¹*⁴»'-

К.о •£-,. *Ч ^:

ОЮг-ц-ч»^²¹

(ЗД9)

Ти^ £ Кц, I Ко )

где

имеет вычислительных ошибок для СО и К , удовлетворяющих не­равенствам С2.-5*0 .

-<

Получим формулу для расчета матрицы МС^, £¿-,-2.1.-1) Для этого сначала найдем матрицу обратную (X Сг.1-4, 2 и) ^:

О-Сы., ы-й ⁼ [^ССс-ч. го]

(Ш)

Для слоя с неоднородностью матричные коэффициенты отражения и преломления в (J2L.SC)) рассчитываются по формулам (2.Л0) . Б этом случае они не имеют вычислительных ошибок и

ИС^Ко, г.1, г^о в О.оги, .

С целью получения оптимального алгоритма расчета формул (£.5*0, (2,.56) ^п0 аналогии с С2.. 38) запишем

У⁴ =

С2.80

I , п - ⁺ ч ДТм Яц +

гх

" <-^т«_ + Т„ В.,,' Н^ДЯ«.) Т₁₍ ^ ] ,

Здесь К.^{14 4} рассчитывается согласно <_ч2.Д<3),С2..^т1£'\(£..б8)по

формуле

яГ'^-СЧ^Гг¹ ся.ае.)

Рассмотрим, как разделяются однородные и неоднородные волны в поле смещений в случае слоев и включении с однородными физичес­кими параметрами. Согласно выражении для К.^ _р и У⁷^ _;

в формулах (.1.45) однородные волны распространяются, когда

т К , неоднородные - если со/^р'Ч^,

* ^

^ К» . Выделяя соответствующие области оз и К в формулах для потенциалов (.1-15) , получим разделенные однород­ные и неоднородные волны в выражениях для смещения на свободной границе полупространства и .

Рассмотрим теперь как выделяются рассеяния заданной кратно­сти. По аналогии с 3&.)первое из матричных уравнений запишем в виде /86/

⁺Ти, ^ )т_г Л²-*²⁰

* р »о

Если в (Д. 8 5) положить р = 0 получим отраженнную одно­кратную волну, рассеянную в (¿+1) -ом слое один раз (Д, рис.£>б), если р - 1 - двухкратную и т.д.

Наконец, для получения поля смещений Ц,(Хп,2.₀Л)⁼ и,^С1(х_п,г₀ + + С⁰⁰". , рассеянного на свободной границе полупро­

странства, необходимо в(£-56),(£,59)осу1цествить двухкратное обратное преобразование Фурье

-с«?о -Ко

г * - О)

где ^ со) - U, Ск, ^о, со)

~ {.^ос СК, Lt^CK.i-o.Co),

когда ищется поле рассеянное на горизонтальных неоднородностях; или a^CNio.c^,

когда ищется поле в латерально-однородной среде.

Согласно /ikS/ интегрирование спектральной функции в грани­цах , по К в С&-. 8А) эквивалентно свертке tXC3tn,Z_0poi)= ® {^х , U,^, tie } с функцией 1С С.Ко, ¿о, .

Интегрирование по О в границах С' , с^О функции U. Срс_п, с«з) эквивалентно свертке tlr Сх_п, с функцией

U/Схп, ^..«^^[CstHc^-t/O/Cc^-t/^)] .

Поэтому необходимо, чтобы относительные погрешности, вызываемые ограниченностью области определения спектральных функций,

е_к ^[йскс^.с^ираос.^и e^-lucx^cocyiapuf(?e,z._ec*)l

о О* СОо

были меньшими наперед заданной точности вычислений. Для этого специально подбираются параметры L и Р излучателя со спек-

L»

тральной характеристикой "^ГбКр С"" l⁰⁵! Р) и параметр Ъ характеристики направленности приемника вхр С" I^К1 ^ )