1.4.2. Теория деформации, основанная на физических

закономерностях о сжимаемости и деформируемости сред.

В качестве прообраза используемой общей модели неидеально- упрутой среды Гуревич Г.И. /116/ предложил поликристаллическое тело, состоящее из "частиц" и "прослоек", находящееся при таких температурах и условиях нагружения, когда его необратимая деформа­ция происходит преимущественно за счет смещения кристаллических зе­рен относительно друт друта. Эти зерна являются частицами модели, а среда в области контакта представляет собой материал "прослоек". Необратимая деформация поликристалла может быть результатом де­формирования плоскостей раздела внутри зерен и соответствующих скольжений одних частей кристаллической решетки относительно со­седних в направлении выравнивания напряжений в каждой точке ма­кроскопически сплошного тела. Роль прослоек играют дислокации, на­ходящиеся внутри зерен в областях контакта плоскостей скольжения; микрочастицы - части решетки, смещающиеся по плоскостям относи­тельно друт друта. Необратимая деформация поликристалла может быть одновременно результатом внутризерновых перегруппировок атомов, обуславливающих сдвижение частей зерен относительно друг друта и межзерновых перемещений, приводящих к сдвижениям зерен в целом. Для полноты обозрения рассматриваются различные состав и строение самих зерен материала, которые характеризуются различной энергией вырывания молекул и атомов.

Использование теории /146/ долгое время оставалось затрудни­тельным зиз-за большого числа трудно определимых физических кон­стант, которые входили в уравнение движения, получаемые на основе физических предпосылок. В работе Левшина А.Л., Ратниковой Л.И. и Сакс М.В. /\Ък/ выведены простые расчетные формулы для тела Гуре- вича /116/, позволяющие прогнозировать скорости и поглощение как

функции частоты.

№

Согласно /116, 1 Ък /» при малых касательных напряжениях пол­ная сдвиговая деформация, например, 6_Х£ (Л/) есть сумма упругой и упруго-релаксационной деформаций: 6 (^=е_Г9Ь!гС-Ф ^{+ €}Р_хг(£У Причем (^обладает непрерывным спектром времен релаксации ^ с ядром

'зсг

1/Ъ

*т>

В реальных средах /{{6/ соотношение для верхней и нижней гра­

а

м

ниц времени релаксации имеет вид Т"_р << ПГ

подчиняется уравнению состояния типа Кельвина-Фойгта

(155)

Здесь гуковский модуль сдвига, упруго-релаксационный

модуль. Аналогичные формулы имеют место для полной диллатации

©(£) ~ + Сэд + в гг.. В соотношение (1.55") для диллатации вместо ^^ и ^ входят К и К - гуковский и релаксационный мо­дули сжатия. Интегрирование (Д.5*5) для скорости полной деформации аналогичного уравнения для скорости полной диллатации приводит к следующему виду для выражений, связывающих деформации и напряжения

¿м

36

Эвхг

э*.

^ Сехр^еЬ)

осг.

О

и О

СШ)

ж

А$>

9-Ь

Ь'.

где

Рассмотрим как в работе // получены выражения для дис­персии декремента затухания и фазовой скорости на примере по­перечных волн. Если продолжить спектр времен релаксации в (1-5 Ю

С2С1

до — оо , учитывая при этом, что = ^ 0 и подста­

вить уравнение движения

ЭсЬосг . р 9^г(Хх,

э* ^ъ а-ь^

в (.1.5*0 , то получается одномерное волновое уравнение /115/ в перемещениях

T-FlS^P (.1.55)

Решение ищется в виде

U,_Xoe)9[-^t -K^zi] ₇ (Д. 56)

тогда для (.1.55) имеем

₊ = о, am)

где;

I = = i-Pv, ^^r -t tCfcclofЛ

О WV

Поскольку фазовая скорость и декремент затухания плоской гармонической волны связаны с комплексным волновым числом соотношением

⁼ > сд.68)

то используя С 1.5*0 можно получить зависимости 15с, (с*?) и A§(Ci?). Аналогично в работе /154/ получены выражения для и Др(о>).

Для упрощения получающихся сложных выражений в /1ЗД/ приняты следующие допущения:

I/ диапазон времен релаксации достаточно широк: ^10 ;

2/ гуковский и упруго-релаксационный коэффициенты Пуассона поло­

жительны и удовлетворяют соотношениям ОД^/к^< 1,5;

3/ релаксационные соотношения при объемном сжатии выражены в гор­ных породах слабее, чем при сдвиге: О < К/К* 1, О 4/ используется упрощение:

¿>м . G9 '

V ^

>1 + bVt + к/к'^

5/ частотный диапазон ограничен следующим образом: для пород с ja/ju*<_э co_m=106_m/<о?< ^Li^C^/r "5) з c¿)_M]

для очень "мягких" пород С J¹*"//⁴-*⁷^) диапазон более узкий -

€s_M^<CJ< Sm/ÍO* .

Точность такого приближения - 97%. Исходя из приведенных вы­ше допущений получены зависимости скоростей и декрементов погло­щения, если известны их значения на опорной частоте

AsCP) = ,

Л __ ¿ ¿ÍSCC^q) О 09

C1.59)

ЗС²- ^rt/

ЯЗ-₅Ссэ) = 1%Ссо₀) v/лзС^/ДзС^)' , Cc¿) = Ufe eco) \Л/3 + ^ Cc¿>'' ,

l 5 tyCco) ^{+ 1} У

Wr ^ - A5Co3»)/AsCog>)

^ 4 + [AsCc^>/AsC«> -4] • holWo

До сих пор мы рассматривали волны, получающиеся в результате

решение.одномерного волнового уравнения. Рассмотрим обобщенные волны /ihBj 156/, имеющие место, когда в среде присутствуют об­

менные волновые эффекты. Если сейсмическая волна распространяет­ся в плоскости Х02- декартовой системы координат под углом ^ к оси , волновое число в случае решения двумерной задачи,

представляется в виде К - А + у Р , где А - направление максимального затухания, Р - направление распространения волны. Б этом случае решение представляется в виде /1Ъ6/

(Х - а_ое>фС-А^)ехрЦСр£ - <^>-Ь)], а60)

где 1Х₀₁ Ш» - начальная и текущая амплитуды колебаний. При под­становке (Д.£>0) в двумерное волновое уравнение типа (Д-б^) для комплексного волнового числа К получаем

Р^г- = , РАсое>^= ^(.1.61)

Таким образом в случае отдельного распространения продоль­ных и поперечных колебаний имеем дисперсионные зависимости для скоростей и декрементов затухания в виде (Д.59) . А в случае двумерной неидеально-упругой среды комплексные волновые числа представляются соотношениями (Д. 61) .

Выводы.

Исходя из изложенного в первом разделе материала можно сде­лать следующие выводы:

I. При решении прямых задач сейсмики применяют в основном следующие методы: дифракционный, лучевой, разностный, конечных элементов и матричный. Дифракционный подход выгодно применять, когда исследуются отдельные геологические объекты: сбросы, разло­мы, каверны и т.д. Лучевой метод имеет важное значение при просле­живании отдельных волн в сложнопостроенных средах, регистрируемых разными сейсмоприемниками (колебания здесь описываются четко вы­раженными фронтами, в окрестности которых поле смещений имеет мак­симальное значение) . Из вычислительных подходов (разностного, ко­нечных элементов) наибольшим быстродействием и универсальностью обладает метод Алексеева-Михайленко, объединяющий преимущества аналитического решения с общностью постановки задачи методом ко­нечных разностей. При изучении полного интерференционного волново­го поля, когда моделируются слоистые горные породы, наиболее подхо­дящим с точки зрения автора является матричный метод, так как если использовать его, то предоставляется возможность исследовать среды со сложным внутренним строением (большое количество слоев, локаль­ные неоднородности); в случае.слоистой среды, по сравнению с чис­ленными методами, получаются более быстродействующие алгоритмы, не возникает вопроса о стабильности вычислительных схем, имеется принципиальная возможность проанализировать решение: выделять из полного волнового поля отражения заданных типов и кратностей на сейсмограммах.

2. Учитывая теоретическую и физическую обоснованность явления дис­сипации энергии в модели деформируемой среды - теле Гуревича и ее согласие с экспериментальными данными, целесообразно применить данную теорию при решении прямой задачи сейсмики матричным методом.

- 46 -

2. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН В ЛОКАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЩАХ

В подразделе 1.3. упомянуты работы и изложен метод расчета теоретических сейсмограмм для двумерных задач. Применение такого метода с использованием современных ЭВМ третьего поколения воз­можно, когда количество слоев не превышает нескольких десятков. Однако, на практике часто встречаются задачи, когда необходимо рас­считать сейсмограммы для моделей, имеющих сотни и тысячи слоев. С этой целью матричным методом'решена прямая задача нахождения поля смещения на свободной границе одномерного неидеально-упругого вертикально-неоднородного полупространства, когда на свободной границе задан источник напряжения. Результаты частично изложены в работах /12-, 15 /.

2.1. Распространение волн перпендикулярно к границам вертикально-неоднородного полупространства.

2.1.1. Постановка задачи.

Кондратьев O.K. /1"Ъ1/, Баранов, Кюнец /\ЪЪ/, Вюншель /1Ъ9/ исследовали распространение колебаний в вертикально-неоднородной идеально-упругой среде. Программа синтезирования сейсмограмм, описанная в /\1S1/, строится на основе метода, предложенного в / \ЪЬ/: решение находится путем суммирования отраженной и пре­ломленной волн на каждой границе, при этом время прохождения волны в слое должно быть пропорциональным шагу дискретизации по времени . Получена рекуррентная формула для определения сме­щения или скорости смещения на следующей границе через его значе­ние на предыдущей.

Матричный метод имеет следующие преимущества по сравнению с методом /{ЪЪМ во-первых на свободной границе полупространства задается напряжение, а не смещение, и поэтому всякое ускорение в источнике является результатом действия приложенной силы; во- вторых нет необходимости выбирать наибольшую кратность учитываемых отражений; в-третьих нет необходимости устанавливать толщину слоя пропорциональной шагу дискретизации по времени.

В /1"Ъ9/ предлагается подход аналогичный работам /1(1, 15 / для случая идеально-упругой среды. Недостатком работы / 1Ъ9/ явля­ется необходимость соблюдения постоянства отношения толщины к скорости в каждом слое.

Одновременно с работой /42./ появилась работа Катри и др. /ЩО/, где предложен матричный метод для решения задачи нахожде­ния смещения на заданной границе одномерного неидеально-упругого вертикально-неоднородного полупространства, когда на другой гра­нице работает источник смещения-напряжения. Однако в работе /140/, как указано в /144 /, допущены следующие ошибки:

I/ не соблюдается принцип причинно-следственной связи /1.52./, вледствие неудовлетворения соотношений Крамерса-Кронига между коэф­фициентом затухания и фазовой скоростью;

2/ комплексная скорость в диссипативной среде приравнивается к реальной скорости распространения волн;

3/ опущен множитель "2" в выражении для расчета фазовой ско­рости; кроме того в /141 / допущены ошибки при использовании матричного подхода, когда источник и приемник поля смещения- давления находится внутри полупространства.

Важной задачей интерпретации отражений на сейсмограммах явля­ется выделение волн заданной кратности отражения. В работе /142./ для этой цели используется рекуррентная формула для коэффициента отражения из монографии Бреховских Л.М. /44Ъ/, при этом считается,

что волна смещения падает из бесконечности на пачку слоев. Заметим, что рекуррентные соотношения для коэффициентов отражения-преломле­ния в случае решения двумерной задачи получены Молотковым Л.А. /кк/- Коэффициенты отражения для нормального падения волны на вер­тикально-неоднородную среду с непрерывным изменением физических характеристик рассчитываются в работе /для случаев: высоко­частотного или низкочастотного приближения; для нескольких' анали­тических зависимостей скорости и плотности от глубины.

Нерешенными являются следующие вопросы:

I/ нахождение поля смещения-давления в одномерном неидеально- упругом слоистом полупространстве, когда источник и приемник заданы на разных границах;

2/ выделение волн заданных кратностей на сейсмограммах, рас­считанных матричным способом;

3/расчет сейсмограмм для всего спектра сейсмических частот и произвольного закона изменения физических параметров по глубине полупространства.

Указанные пункты 1/-3/ представляют физическую постановку задачи подраздела 2.1.

ся.г)

Рассмотрим одномерное вертикально-неоднородное неидеально- упругое изотропное полупространство, механические свойства мате­риала слоев которого будем моделировать на основе теории Гуре- вича /416, /. В случае продольных сжатий обобщенный закон Гука согласно СЛ.5А) имеет вид

д (Ш

Эt

уравнение движения -

Пусть уравнения (£.1), (Я-2-) описывают распространение

продольных колебаний в каждом из элементарных слоев одномерного неидеально-упругого слоисто-неоднородного полупространства V* , для которого d^ = тЕ.^— , (р^ - соответственно мощность

слоев, плотность; = ^ С<^>„) , Gt^ - I,—,N-

скорость распространения волн и добротность, заданные на опорной частоте / рис.4/. Верхняя граница свободная, ниж­

ний слой - полубесконечный.

Математическая постановка задачи следующая: определить век­тор смещения-напряжения = С^г., ¿гг.)¹" » ^на границе Z. = 21 -г, O^-Z^M, когда он задан на границе Z = 2.s (точки П и И , рис. 4) Ы полупространства V^ , когда удовлетворяется условие на границах: В^Сг,*), и принцип причинно-следственной связи (.1.5SL) для поля бегущих волн

= 0 , ^ = sup ^ . СЯ-3)

■ь < ^/iJ'oo { ^ m ^ М

Используя С2..5) , получим уравнение продольных

колебаний Юг-го слоя

Э UU к уц^ ^ к

В решении необходимо выделить волны заданных кратностей.

2.1.2. Определение смещения на свободной границе.

а г¹ 'М^^^А^О. ад

S'nv О

Произведем в С.2.Л) замену

= gmd ₍

где я

9 ^ ■ е* » С2..5)

1 г° 1
СО г,
V ) ( 1 гя
\ 00 ^ г%
1 г 1	1 !
(т) гт	^Рти, 'От, & т
! * 1 1гк	/ |
(г) си	Л.л.а, )
. ! '	!
1 (о»

" С.

Модель одномерного вертикально-неоднородного неидеально- упругого полупространства. Источник II и приемник П разг.ющены на грашщах л

са<»

« 7« $ Я* «рс¿со*.) А«, ^СШ

и? Ср - волновой потенциал поля смещения в т, -ом слое и его Фурье-образ. Тогда для будем иметь

д£

Здесь комплексное волновое число, описывающее распро­

странение и затухание колебаний. Его можно представить в виде

дъц/

тогда выражение для декремента затухания и скорости продольных волн Ч^СР*?)) получим аналогично декременту затуха­

А^Сс^)«

ния А эСсЛ и скорости поперечных волн из формул

к _ р _с«2

,„_Р , (.<-а.¹^),,,р ..<• ч ^.к« = - —^с 20

= аъоЬ и, . 26

о Чу¹ 70

-ЭлСа^Эл-авЭхх-авс^! о 71

А. <и 79

₊ = о, am) 102

СЯ.Ъ2.) 166

с - т_и т_н,Ек-чХм "^н-гЕ-н-г-ТУг• • • 170

- Э* - А ЬгмсГ о 197

⁼ ^ , V, ^в . 250

Фь ^в ь® Ф-; 265

т„ =Мгг. -Мм СМ,; ) , Т. -См«, ) 274

т'""^1,1 = г:' 294

~ {.^ос СК, Lt^CK.i-o.Co), 325

иодМ^Шт^в ю.п. 505

где - опорная частота, на которой заданы скорости распро­

странения волн в среде ^О^о) и логарифмический декремент затуханияД^ОЗ). Часто вместо декремента затухания задают до­бротность Я^С^«) *

Решение уравнения для Фурье-образа потенциала У⁷^

|У1-го слоя можно записать в виде

Яи* ^в>Ф (^ к^СР) Л_т)+А^©хрС-^^Ссо)о1 _т\ (¿40)

^ГДе , О? _х/ А ₂ _

^ ¹ « азе

, когда пл. = 4, .... М-1 >

- 52 -

£ ⁷ , когда т. = N1

Введем вектор

= , ОМО

где ^ = е*р (г * * т, А ~ )

- фурье-образы потенциалов волн, распространяющихся вверх и вниз по уп, - ому слою. Используя зависимость между напряжением и де­формацией (.2-4) , с помощью (Я.б) , получим

где - Фурье-образы напряжения и смещения,

г«.

_ ПИЛ РТГûРТТТГСТ 1 . ж ж.,* . . . .

висимость:

_ О - ху г. .

(_со)+2.МСс^)"^эФФ^{ективны}® модуль плоской волны /ЧЪ^-ШЦ/ в - ом слое. Для Ссо) ⁺ 2.М^(с*э) имеем следующую за-

Ь ^ (со) + ^ м (<*» = 9 УЛЛ/ ,

л

к.'

Используя ^^^ сформируем матричное равенство

Ё^ОО -Т^Ф^СО, С&<Ъ)

где В^ Ш = Са^сГ' , 3>£®Г ,

¿к

у^л,

Ухх,

т.

С2-1М

Запишем ехрС+^о^), А'^ехр

в виде произведения матриц

со

Л ^ С) к ГЛ.

А

К

т.

сг>

Ум.

⁰ ^¿к^

А^ ex.pC.-jK^ои*}

Если в положить Ъ = для <5^ ^¡получим - А^С£.,

(2Л5)

Е -

СЙ.16)

(Л

/С- Следовательно из С2-41) имеем Ф^СН-^-^СА^, Тогда последнее равенство запишем в виде

С5

где

©хрС^к^нО О О еарС-^к^^

или Е^ = [ехр с] к^л^), е*р С-* к^ .

Предположим, что нам известно В₀ = (/£©) » тогда, исполь­зуя (.2.1^0 ^и (2+Л5) , из условия равновесия смещений и на­пряжений на границах имеем

Са.«)

ЬгЛгЛ = Т, Е„ Т,"' В₀ .

Е>м ОЕ- = Т_ы_< Е Т_мН В мн (.2. й-ъ)

Обозначив здесь - X*, Е1 ^ Т^⁴ , получаем

где матрицы НГ^⁴ и соответственно равны

к

т-⁴ =

* т.

Сала)

- СО^Ь ^ К ^ ОЭ у Кт/

ПО

гсК &

салю

Чек, </.

где = ^ К к>\, Кус •

се.ео)

Используя формулы С&^Ь), имеем

фц ^в ^ Во ,

где Я"⁴ - Т^ G^ы • •• •

Из однородного полупространства волна прийти не может, поэтому

уравнение можно записать в виде

"а.«"
ТСО)

	"о

чъ

са.21)

•ЧА

Решая (Я. 2.1) относительно Ш и осуществляя обратное пре­

образование Фурье, получаем решение задачи в виде

С^с

п<* = -

-сэ₀

частоты среза спектра /{1ч6/. Заметим , что так

Со")

_ъ - действительная функции времени, то

Г. \ Г, „ . V _ I (

как

и^ьеСс^вКеС^), Ц-^СсЛ =

м I«*

CS.il)

где ± СО<

ис

Спектральная функция источника в формуле (Я-ЗД.) ^нами взята в виде /146/

со

где

где 1л и Р - параметры источника. Зависимость СО-.Ъ-Ъ⁴) во временной области соответствует колоколообразному импульсу /14б/

₌ РЬ

если интегрирование по со в выполняется в бесконечных

пределах. Пределы (,-аЗ^ СО^ в £.2-) эквивалентны свертке

и,^С£ с функцией (¿>1К ся^Ь) /1к$/.