1.4. Влияние неидеальной упругости среды на распространение сейсмических волн.

Отдельное место в матричном методе занимают задачи для сред, в которых происходит потеря энергии при распространении волн. Матричный метод разработан для диссипативной модели с последей­ствием /56, для вязкоупругих сред / 16/ и для по­ристых сред с применением теории Френкеля-Био /68/. В работах /56/,/81/ изложена методика расчета теоретических сейсмограмм на поверхности слоистой неидеально-упругой среды (рис. когда каждый слой характеризуется дополнительно добротностями О. р^ О,с Ст = 1,...,М) распространения продольных и поперечных волн. Источник колебаний находится на бесконечности в положитель­ном направлении оси .

1.4.1. Эмпирический подход к учету неидеальной упругости.

Пусть в некотором объеме V тела, ограниченного поверхно­стью 3 , распространяется сейсмическая волна. Согласно первому началу термодинамики для отрезка времени Д."Ъ имеет место соотно­шение: выполненная механическая работа + количество выделенного тепла = увеличению внутренней и кинетической энергии тела. Второе слагаемое левой части равенства можно представить в виде Ръп, » где К, ТС, - скорость распространения тепла через единичную площадку, перпендикулярную единичному вектору • Адиабатическая деформация - характерное явление в сейсмологии для длин волн больших нескольких миллиметров /67/, поэтому k, и. - О и, следовательно, энергия механических колебаний должна перехо­дить во внутреннюю и кинетическую энергию частиц среды.

Обширные данные о затухании сейсмических волн приводятся в ра­ботах / 5,8&-М1У. Для получения этих данных авторы используют результаты полевых и лабораторных исследований горных пород /бb*

105 /• Большое количество данных о диссипации энергии сейсми­ческих волн привело к необходимости построить теорию, которая давала бы возможность одновременно учитывать затухание распро­страняющихся Р и S волн, а также определять значения волновых диссипативных параметров в области сейсмических частот.

Классическими моделями, описывающими неупругое поведение сред являются: тела Кельвина-Фойгта, Максвелла и стандартное ли­нейное тело /5, iXb tík/» Отметим отрицательные явления, характер­ные для классических моделей, а потом запишем уравнение с после­действием, где они отсутствуют. В теле Кельвина-Фойгта при уменьшении релаксационных модулей до нуля, т.е. при переходе к гуковскому телу, имеем уменьшение продольного и сдвигового напряжений, что противоречит молекулярной сущности деформации. В теле Максвелла при фиксированном напряжении деформация неограничен­но растет, поэтому уравнение имеет смысл только для сдвиговых на­пряжений, когда тело течет. В стандартном линейном теле отсутству­ют отрицательные свойства отмеченные для тел Кельвина-Фойгта и Максвелла. Однако, горные породы ведут себя при распространении волн существенно иначе, чем это можно предвидеть при помощи клас­сических моделей. Это объясняется одновременным существованием множества диссипативных механизмов. Кроме того, из уравнений дви­жений, в которых используются все три типа тел, следует существен­ная зависимость декрементов затухания от частоты, что противоречит большинству опытных данных /145, 44.6 Л

Еще в 1876 году Больцман /ЬЧ/ предложил следующий вид урав­нения состояния:

м_и £ со = ¿с-о + 6и,) * уа), УА9)

где ^СЬ) - функция крипа /8*//, последействия /415 г ЦЧ/, функция памяти /Ид/, Ми- релаксационный неупрутий модуль,

£ , ¿СЬ) ~ деформация и напряжение для одномерного случая. На основании этого уравнения в работах / 44Т, 448 / получены неза­висимые от частоты декременты затухания продольных и поперечных волн Др , » при условии, что частота не принимает слишком

больших значений. Многие исследователи занимались подбором для получения согласия с экспериментом зависимостей фазовой скоро­сти и добротности от частоты /406, 4.40, Основоположной здесь следует считать работу Николаева Б.Г. / 406/, где показано как соответствующим выбором ядер последействия для уравнения (4.А9) можно переходить к тем или иным моделям неидеально-упругих сред (Больцмана, Дерягина) и определять диссипативные характеристики с использованием метода итераций.

Рассмотрим кратко другой эмпирический подход, основанный на дисперсионных соотношениях зависимости между скоростью и коэффици­ентом затухания гармонических колебаний (соотношениях Крамерса- Кронига) . Используя известную эмпирическую формулу коэффициента затухания /&7/

оО с4.50)

где СО - угловая частота, С - скорость волны, & - постоянная доб­ротность; импульс распространяющейся волны можно представить в виде

X

2.са

оО

tcolx

(¿51)

РСх

ехр

-

(ёЖК

Форма этого импульса не совпадает с опытом в следующем /105/:

ОС

I/ С 1.51) описывает кривую симметричную относительно ,

реальный же импульс имеет.время затухания намного больше, чем время возрастания;

2/ экспериментальный импульс имеет наклон возрастания приблизи­тельно в полтора раза меньшии чем в С 1.51) .

■Для обхода указанной трудности Футтерманом /1ЪЪ/ предложено ввести дисперсию скорости CCc¿>) . Далее в работе /{ЪЪ/, исходя из того, что давление распространяющейся волны отсутствует там, куда не пришло возмущение от источника

где

ОО

- максимальная скорость распространения гармонической

волны; получены дисперсионные соотношения между скоростью и коэф­фициентом затухания гармонических колебаний.

Из экспериментальных данных известно, что О. чаще всего по­стоянно в области сейсмических частот 12)2,/, поэтому в С 1.50) подбирается такой закон оСО*^ , не обязательно линей­ный /\WlZi для которого а эффективно постоянно в области ис­следуемых частот /1&0 т №Ъ/, Далее по известной функции оС (со) определяется дисперсия фазовой скорости С (.со) из соотношений Краме рс а-Кро нига.

Таким образом получаются эмпирические выражения для оСС⁰*³"), &(Сэ)в неидеально-упругой среде. Интересно, однако, получить дисперсионные соотношения исходя из физических законов о деформируемости сред. Соответствующая теория изложена в следующем подразделе, она разработана Гуревичем Г.И, /Цб/.

= 0, Ъ <- ос/О, •

- 40 -