1.3.3. Учет горизонтальной неоднородности среды.

Распространение поверхностных волн в среде с вертикальной и горизонтальной неоднородностью физических параметров рассматрива­лось Бабичем В.М., Молотковым И.А., Мухиной И.В; /82,,83/. При этом применялся обобщенный лучевой метод. Жарков В.Н. и Оснач А.И. /&Ц / изучили дисперсию поверхностных волн в среде со слабой вер­тикальной и горизонтальной неоднородностью методом малого парамет­ра. В работе Кеннета Б.Л.Н. /60 / эта же теория применена для ис- ледования распространения объемных волн в слоистой вертикально-не­однородной среде со слабой горизонтальной неоднородностью.

Рассматривается / 60 / слоистая идеально-упругая среда (рис. 5) » между параллельными слоями которой выполнены условия жесткого контакта. Плоскость ХО^ совпадает с границей верх­него слоя "2.₀, которая является свободной. Нижний слой С^О > однородный и бесконечный в направлении оси 2. , характеризуется скоростями продольной и поперечной волн ^Зр^ ₀ ^Бц > плотностью

(Э, . Каждый промежуточный слой (.4, . . . Ы-!) характеризуется толщиной (¿с, скоростями продольной и поперечной волн

С.Х, ^и плотностью Сх,г.), • • • N-1) неоднород­

ной среды.

Считается, что напряжение и смещение не зависят от ^ коор­динаты и изменения физических характеристик ^ ₉ в латеральном направлении (по координате X) являются небольши­ми, так что поле смещений, рассеянное на такой неоднородности, по порядку меньше поля, рассеянного на неоднородности физических ха­рактеристик в вертикальном направлении (по координате ) . Ста­вится задача определения зависимости от времени поля смещений на границе полупространства, когда источник колебаний на­ходится на г.© и это поле удовлетворяет условию равенства нулю на бесконечности.

Определение поля смещений ЦЬ^ ; 1 расчет теоре­

тической сейсмограммы для указанной модели - состоит в решении

• •

системы уравнении движения = 9бцУЭХе, ,

когда выполняется закон Гука = Х-З^Ц,

где Си= ^ ЫЛЗ)}

- коэффициенты Ламе, - символ Кронеккера, Щ.. =2. ЭИс/Э-Х!.

О ^Си и--» ^С

1

и

n

ZoO

ti

d< (*)

T i

T

\ V Í*)	1
2.1

Рис. 3 "одель идеально-упругого горизонтально-слоистого полупро­странства, е itl-om слое которого плотность и скорости распространения продольных и поперечных волн являются неоднородными по двум координата.,. % 2. . Источник (й) и приешик (П) размещены па свободной гранще полупро­странства Н. .

н ₊ зику о

'^Ч'Йосе, ~ ^{Компоненты} напряжении в декарто­

вых координатах, значение индексов 1,2,3 эквивалентны обозначе­нию координатных осей Х,^, .

Подразумевается, что поле напряжений-смещений неявно зави­сит от времени: ехр (.С*Э - угловая частота, тогда равенства можно записать в матричном виде

/ 60 /• Для волн

9	а г.
и
	¿>гь

О

(£¿409.

""1	V
С

I

о

о

!0

X

¡-а*

-СМ) О

где <Ъ = %1Ф? , З-А^а-б⁴-);

ДЛЯ ВОЛН £>Н ;

9
Эг.

	1Ц
	6аг.

о

Если представить неоднородность в виде

и ввести обозначения

СИ Сх.г) -Ч^^Т'-С?»^ ,

а,, с г) = с 9 ^р - С ,

01ц № Ъ) = VI а- <ЬЪ- ^Х С4 -<£) .

а₅

а₆ с*, = ;

тогда уравнения (..{.'Ь'5) » (Д. "54) ^можно записать в общем виде о

В Сх,« = Ао В Сх, + А₄ Сое, 2.) В Сх, г), ц-55)

где - операторная матрица, относящаяся к латерально-

однородной среде, Д^ С.Х,2.) - операторная матрица, зависящая от "мер неоднородности" ОЦ, Н) .

Для волн = Ьгг) •>

,1

0

С2-6М)Э*. .0

- ^Эза-ЗоСЛ 0

»

X

0

-Эх

о !с?о<) 0 ! -1)6

.Чо^-Зэс 10

0 ¡0 10.« аг>3х |0

-с3_5Саи)9_х-а_ц9_хл-а₅со^г| 0

0 гМГ

О

а*.

Зх^ь + ^Зх

О

0 О О

Ач Сад)

л*

Для случая &Н волн В^^Си^, *

о Чу¹

где

I

О I Оич

-ЭлСа^Эл-авЭхх-авс^! о

« J

В результате применения к (1.55) преобразование Фурье (1.14) по 00 и учета во втором члене леммы Бореля /ЪЪ/, за­ключающейся в том, что Фурье-преобразование произведения матриц равно свертке их фурье-трансформант, получают

з - 1 ?

Бек,- Х₀ск,г)&Ск,« + ^ ^СОч^ВС'г.г) С15б)

— _ — _ т

где для р- ¿V волн В » С&х , , , >

О »«

О

о о

О О

! о

0

о

о !о

О ¡0

о

| о

для 5Н волн В_ан(к,?.) = (Ду , >

< у¹

о

¡а^-^г)

»

<ро

Если правый член в уравнении (Л."56) нулевая матрица, то оно описывает латерально-однородную среду.

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что если АСг.") ^и ^СЬ) матрицы комплексных функций, то при исходных условиях = решение уравнения

А. <и

имеет вид

где PC.iL* т£-₀) ~ матрица-пропагатор для вертикально-неоднородно­го слоя /17/.

Если матрица порядка то при тех же исходных

условиях решение уравнения

,„_Р , (.<-а.¹^),,,р ..<• ч ^.к« = - —^с 20

= аъоЬ и, . 26

о Чу¹ 70

-ЭлСа^Эл-авЭхх-авс^! о 71

А. <и 79

₊ = о, am) 102

СЯ.Ъ2.) 166

с - т_и т_н,Ек-чХм "^н-гЕ-н-г-ТУг• • • 170

- Э* - А ЬгмсГ о 197

⁼ ^ , V, ^в . 250

Фь ^в ь® Ф-; 265

т„ =Мгг. -Мм СМ,; ) , Т. -См«, ) 274

т'""^1,1 = г:' 294

~ {.^ос СК, Lt^CK.i-o.Co), 325

иодМ^Шт^в ю.п. 505

По условию задачи

бар \ сх,«\« %₀, ьир сх^ (« 1\,Сг),

х ^

Бир1§>_ч Сое, го\ < <?<>№> , ос,

В работе /60/ для представления поля делается

следующее допущение:

ъ Сое, г.) = В° С.Х, г.) + В⁴ еос.гО , (Д44)

В4эс,2-) . С1.45)

где - поле напряжения-смещения в латерально-однород-

ной среде, В*(рс,20 - поле , рассеянное на горизонтальных неоднородностях.

В результате, применяя к (.1.4*0 преобразование (Д. 14) , после подстановки в С.1.получают окончательно

г «с

Век,г.)« Рск,г.г*)ВСк.г-о)+ ^ о

4 Г Г

<<

Крайний правый член в уравнении (Д. 46) определяет мультипольное рассеяние в . При условии С 1.45)

1

Бир

мультипольное рассеяние не учитывается.

Далее показано, что такое неравенство можно привести к виду

<1,

СМ)

- вер-

нь о 'К* —О,

где К_в - максимальное значение используемого ; Н, и тикальный и горизонтальный размеры неоднородности,

6_Р С0<*<Ь,0<^<Н),

где 6, =а<^*, 6г. = О-а. _/"•*, 6_ь = а₅, {у-й_ч//* Ь^* " 0-6 /щ/** у У^сР^{едненные} коэффициенты Ламе

и плотность по толщине, содержащей неоднородность.

Если крайний правый член в отбросить, как величи­

ну второго порядка малости, то решение уравнения (Д. Эб.) для рассеянного поля можно представить в виде - - К Г ^К°

Ъо "^К0

Таким образом вклад неоднородности представляется как неко­торый источник, распределенный в объеме, размеры и физические характеристики которого определяются неравенством (Д. ) . Когда условие С.1. VI) не удовлетворяется, тогда имеют место мультипольные эффекты и в рассеянном поле В(рс, г.") надо учитывать члены второго и более высоких порядков малости.

Далее при рассмотрении распространения волн в горизонтально- неоднородной среде Кеннетом применен матричный метод для слоистой; среды, при этом каждый пропагатор ^С-л) У®⁶ описывал

распространение волн в I -ом слое. В работе автора /Ю/предложена методика расчета сейсмограмм на свободной границе полупростран­ства, когда горизонтальная неоднородность находится в одном из слоев. Эта методика изложена во втором разделе.

Широкий класс задач сейсмологии допускает при теоретическом рассмотрении сейсмических волн применять закон Гука для идеально- упругого тела. Однако, актуальной является необходимость учета тех особенностей распространения и затухания упругих колебаний, которые нельзя объяснить в рамках теории для идеально»упругой модели среды.

- 36 -

Известен ряд подходов к учету диссипации энергии упругих волн в моделях сред. Способы учета диссипации энергии распростра­няющихся волн и расчета, получающейся при этом дисперсии фазовой скорости и добротности для моделей реальных сред, рассмотрены в следующем подразделе.