1.3. Матричный метод расчета сейсмограмм для горизонтально­-слоистой среды.

При решении прямых задач сейсмики часто используют матричный метод, предложенный Томсоном и Хаскеллом Аб/ ^и развитый в работах Молоткова Л.А. Ратниковой Л.И., Левшина А.Л.

/5£л-5б,66^/, Данкина Дж.В. /59 /, Кеннета Б.Л.Н. /60^ в5 / и др. Матричный метод обеспечивает строгое математичес­

кое решение ряда контактных задач динамической теории распростране­ния сейсмических волн с применением интегральных преобразований, позволяет эффективно использовать возможности современных ЭВМ для получения окончательных результатов. Матричный метод позволяет учи­тывать эффект действия источников колебаний, расположенных на сво­бодной поверхности или внутри полупространства. Он может быть эф­фективно использован для расчета теоретических сейсмограмм на по­верхности слоисто-однородного и неоднородного, идеально- и неиде- ально-упрутого полупространств, причем неоднородности могут иметь как физический так и геометрический характер.

С целью получения основных формул и матриц необходимых в ис­следованиях, проведенных в данной работе, в разделах 1.3.1 и 1.3.2 приведено краткое изложение матричного метода / ЦЪ, 59, 60 /.

1.3.1. Подход Томсона-Хаскела и его численная

реализация.

Рассматривается твердое полупространство, состоящее из пачки изотропных, однородных, идеально-упругих горизонтальных слоев с прямолинейными границами раздела / рис. /, нижний из которых име­ет бесконечную мощность. Слои характеризуются мощностью, плотностью, скоростью распространения продольных и поперечных волн о1т., ^ркм, _}

Ъо. 8,. Модель идеально-упругого слоисто-однородного полупро­странства, на свободной границе которого размещены источник (И) и приемник (д) .

Уравнение движения для перемещений U, такой среды

имеет вид

• • _

= аъоЬ и, .

Вводятся скалярный и векторный потенциалы поля смещений ,

у) (^оиСЯЗ* = 0) , с помощью которых вектор смещений кгь-го слоя

YVX, 'ГЛ.

представляется в виде

U,^c"°= gfcadl + m. = i, ..., N. (М1)

В плоском случае вектор IfJ^ преобразуется в скаляр где J - орт декартовой системы координат в направлении оси "^J , и уравнения движения разбиваются на два независимых волновых урав­нения для упругих потенциалов У , ^Р^ » описывающих распростране­ние в данной среде продольной и поперечной упругих волн:

= , (1.12.) = У^ , Ш5)

где

ч> хо

Данную задачу решают в фурье-пространстве, применяя с этой целью к уравнениям (ДЛЯ.) , (Д. преобразование Фурье:

оо

^ Срс, г., со) = |(рс,, г-Л) ^ехР W ^"Ь, г.,со)- expCj кос) doc..

-о"

Тогда решение системы волновых уравнений (Д.4&), (1Mb) записы­вается в виде / 59/

^сГекрСК^Сг-н4+СехрК_тСь-г^)]= у* + ^ ,

где

К,

к

1У К²- ^ (лО

IV ' 475 —- ' Й-ч

Введя векторы-столбцы, элементы которых ¿^(Д)? ^^ С^) зависят от параметров преобразования К, , получают

Си),

. ,т сш

со

если т^г

'(7р,

' гл

(У?

Сч-7

4К-,

СО иг-

С^с«, сг), У^ С«] ,

^гДе ₉ , (Ь^ ~ компоненты вектора смещения и

х, "> " г ^ ' ^хг

напряжения в фурье-пространстве.

Для каждой точки »п,-го слоя имеет место соотношение

(.1.11) (1.16)

где

Кр

"¿к

'»-и.

т =

¹ 1-Л

ул.

О куг-

Ш9)

Т" =

■ м.

¡а^кКрЛ-л⁴-^

соУ^ , ^ ■ ^К

Значения упругих потенциалов на (т+1)-ой границе выражают­ся через их значения на Ио, -ой границе следующей рекуррентной формулой:

ФтО^О , (121)

где

¿Ц)^ - обозначение диагональной матрицы.

Граничные условия в фурье-пространстве записываются следу­ющим образом:

¿Цг.»)^ (1.23)

^^(¿»О, т.= Н-1-, (1.2А)

?; = = 0. СШ)

Равенство задает условия на поверхности слоистого

полупространства, причем две из компонент вектора £₀ (напряжения) предполагаются заданными, а две (^смещения) необходимо определить. Условие (Д.<У0 выражает непрерывность напряжений и смещений на границах между слоями. Последнее равенство (Д.£,5) выражает тот факт, что из нижнего полупространства волны не приходят, так как по условию задачи оно в направлении оси Ъ. не имеет границ. Со­гласно /59 / матрица-пропагатор однородного слоя определяется ре­куррентным соотношением

и

. (1.2.6) ^Из С1М1), (1.46) , (Д-^О следует, что

б^-Т^Е^ • СШ)

8. „ . гл .а.Ъ

> »лл» •

Б принятых обозначениях элементы матрицы (у»*, имеют следую­щий вид / 59 /•

■9л -9» -¿[^OSA ♦ sel,

9<ъ ^я% - i 5u>î-

к '

= К)"¹ C&A + sa),

C12-Ô)

3

=C¡¡V⁺I)CA -Г~св,

- « С?- >Vr⁽ № 6A - ^L se>) ,

⁺

" гЬ SA - IT- ^ SBI ,

г*

X—r.

К OJ*-

SA = ^ ^md.), SB= kl sWr^d^X

' fW * 7

со ^ _

СА-с*ьС-к , ce>= cfbC-KK^dL^ .

- 26 -

6₀ *М>_Н

Ч.-4-

Таким образом на границе 2.₀ слоисто-однородного полупро­странства из Cl.il) , с С1.2.6) имеем

'О - • Ы

где К. ^г СО-м--« .. -б/УТ*» ~ квадратная матрица порядка 4*4.

Матрица [3. может быть представлена через подматрицы вто­рого порядка

нг

СШ)

^ ы £ чя.^

Если на свободной поверхности заданы фурье-трансформанты напряжений [.сЬгг , , то фурье-трансформанты смещений

[Д*. Сс^У* , с учетом С 1.2,5)» определяются по формуле

С<Л

<Ь

ам)

а?

с«л

= £ о

Для получения зависимости компонент смещения от времени на поверхности слоистого полупространства 2₀ » производится двой­ное обратное преобразование Фурье в С131) от со к -Ь и от К к ОС.

Рассмотренная выше классическая формулировка матричного ме­тода принадлежит Хаскеллу / 45/. Численное исследование для слу­чая, когда плоская волна падает под углом на пачку идеально-упру­гих горизонтально-параллельных слоев впервые проведены Ратнико- вой Л.И. и Левшиным А.Л. в работе /50/. Далее эти исследования обобщены в монографиях /55, 5Й /.

Молотков Л.А. в работе / АЦ / показал, что вычислительная схема, основанная на подходе Томсона-Хаскелла /42,, 1ц5/ дает ошиб­ки на высоких частотах в области предельных углов распростране-

ния волн. Для обхода этой трудности он предложил матричный метод с использованием миноров второго порядка матриц Томсона-Хаскелла, ор­ганизованных в матрицы порядка 5*5. В этой же работе Молотков Л.А. получил рекуррентные соотношения, с помощью которых матричные коэф­фициенты отражения и преломления пересчитываются с одной границы слоя на другую и выделяются заданные типы и кратности отражения- -прелошения из полного поля интерферирующих волн на сейсмограммах. В работах //15 4-54/ исследованы выражения для коэффициентов отра­жения-преломления в области низких и высоких частот -для вертикаль­но-неоднородных слоев и упруго-жидких слоистых систем. Позже у Кен­нета Б.Л.Н. /62.^65/ и автора /7£,7€>/ также исследовались коэф­фициенты отражения-преломления. При этом у Кеннета Б.Л.Н. получе­ны в основном численные результаты для двумерной вертикально-неод­нородной среды. У автора выписаны соотношения, аналогичные выведен­ным в / АА /» дающие возможность выделить кратные и монотипные вол­ны на сейсмограммах в случае полупространства с горизонтальными не­одно ро дно с тями для сосредоточенного источника и в случае нормально­го падения плоских нестационарных волн на границы.

Исследование отражения и преломления в среде с локальными не­однородно стями невозможно без решения задачи о распространении волн в горизонтально-неоднородной среде. Поэтому решение такой задачи рассмотрено в следующем разделе.