1.2. Использование методов конечных разностей и конечных

элементов.

С точки зрения общности постановки задачи и точности получа­емых решений существенными преимуществами обладают чисто численные схемы: методы конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ). МКР для расчета сейсмограмм применен в работах где

изучено распространение импульсов в неоднородной сфере, слоистом полупространстве, четверть плоскости и трех четвертях плоскости. Результаты сопоставлены с данными полученными ранее лучевым методом. Дальнейшее развитие метод конечных разностей получил в серии работ Алексеева A.C. и Михайленко Б.Г. 34/, где он комплексирован

с интегральным преобразованием Фурье-Бесселя при решении задачи Лэмба для неоднородного полупространства и с разложением по поли­номам Лежандра при моделировании распространения сейсмических волн в радиально-неоднородной модели Земли. Преимущество предло­женного подхода определяется точностью аналитических решений и общностью результатов, получаемых с помощью МКР, а также существен­ным увеличением при этом быстродействия вычислительных алгоритмов.

Действительно, согласно /55/ уравнения движения для однород­ного двумерного упругого полупространства можно представить в сле­дующем виде:

ЭЧи^л^) _ „оЛ'Ь'иСх.г.Л) (Л- ,_t49%ff(x,z£) , ^ЭУСд.гЛ) Ш 9 ой^{4- +U7p} ^ 6x0z ^+l7s Эн> >

8ЧЛСС,-£Я) _ о^УШЕЗЛ.) ,, л»Ч9^г-аСх,г.-1) «а ä? ^{е р} ~ ^6} дх. 9г. ⁺ V" öx²- -

Для этих уравнении в общем случае существуют три конечно-разност­ные схемы представления решения: I/ центрированная аппроксимация:

_к+1 = иГ^ - ,_к - . ) ,

,„_Р , (.<-а.¹^),,,р ..<• ч ^.к« = - —^с

2/ односторонняя аппроксимация: 3/ составная аппроксимация;

⁺ е (а- Щ) (&«, к- «.„Г П-<. Д

(1.9)

= аа- г е < _к - ₊г г - Щ)

где 6 - ( щГ- „'И?- горизонтальное и вертикальное

⁴ ' ⁷

смещения в узлах сетки дс = К-АН в момент времени

а?)

(1.8)

Из теории разностных схем следует /36 /, что численные ре­зультаты при использовании МКР сходятся к точному решению, если прирост аргументов стремится к нулю. Поскольку шаг аргумента яв­ляется конечным, то критерий стабильности вычислений для однород­ного пространства по схеме (1*0 * (.1.9) получают из условия Неймана / 36 /:

где - значения искомых функций при максимальном времени.

Расчеты по формулам (1/1) (.1-^) с шагом по времени рав­ным приблизительно -90$ максимального значения, определяемого (4.10) дают хороший результат. Введение границ приводит иногда к вычис­лительным ошибкам, причем критерий их возникновения не установлен. Для отношения ЯЗа/Фр^^/В/Звсе три аппроксимации (4.7) -г (1.9) ста­бильны. Когда ^/^рО/З/З, нестабильность составной аппроксимации становится заметной после 50 шагов по времени. Если <-0,35

формула (1.8) дает погрешности. Для < О.Ъ все три аппрок­

симации приводят к ошибкам.

Отсюда ясно, что отсутствие стабильных схем для диапазона

приводит к практически нерешенной проблеме моделиро­вания волновых полей в мягких материалах таких, например, как не­консолидированные породы.

Поскольку в методе Алексеева-Михайленко /£.9дифферен­циальные уравнения (1.6), описывающие колебательные процессы, сначала преобразуют к обыкновенным, а к ним уже применяются раз­ностные схемы, то вероятность ошибки здесь ниже. Кроме того точ­ность алгоритмов проверяется при помощи численных оценок и тестов /"54 /. Применение упомянутого подхода дало новые важные резуль­таты в теории распространения волн/"54 /. Так, например, установ­лено, что в случае, когда источник продольных колебаний находится на расстоянии порядка длины волны от свободной поверхности одно­родного полупространства, на теоретических сейсмограммах, заре­гистрированных на свободной поверхности, появляются интенсивные поперечные волны с центром излучения над источником; заметно уве­личиваются также обменные явления. Эти фругие негеометрические эффекты интерференционные, головные, туннельные, поверхностные и

дифрагированные волны легко учитываются методом Алексеева-Михай- ленко без специальных асимптотических приближений.

Другим современным вычислительным методом, получающим в по­следнее время все большее распространение в связи с внедрением мощных ЭВМ, является метод конечных элементов (МКЭ). Его рассмат­ривают в /38,39/ как специальный способ построения координатных последовательностей, используемых в вариационных методах, вчаст- ности, в методе Ритца. Для задач изучения распространения сейсми­ческих волн МКЭ применен в 1975 году / АО, ЦА. Л Результаты работы / 40 / хорошо согласуются с расчетами, полученными методом конеч­ных разностей. Однако при использовании МКЭ в случае распростра­нения Р - 2Л/ волн в модели аллювиальной впадины, в / АО / получались вычислительные погрешности в области резонансных час­тот. В работе / 41 / при помощи МКР и МКЭ исследуются задачи о распространении - волн в среде, состоящей из одного слоя, ле­жащего на бесконечном полупространстве. Неоднородность находится на границе слоя и полупространства.

Полученные результаты могут иметь применение в первую очередь для длинноволнового приближения в сейсмологии / б, 44/, так как размеры конечных элементов моделируемой среды имеют значение большее от характерных размеров ее строения. Несмотря на кажущую­ся привлекательность МКЭ, сегодня имеется мало примеров его ис­пользования, что связано с большими затратами машинного времени и памяти ЭВМ при получении конечного результата. В работе / 6 / предлагается в будущем применять МКЭ в комбинации с лучевым или матричным методами, при этом конечными элементами выгоднее модели­ровать области сложных конфигураций, а матричным методом - окружа­ющую слоистую среду.

- 20 -